Question

已知函數(shù)f（x）

1-x

ax

+lnx，（a≠0）
（1）若函數(shù)f（x）在[1，+∞）上為增函數(shù)，求a的取值范圍；
（2）當(dāng)a=1時(shí)，求f（x）在區(qū)間(

1

2

，2)上的值域；
（3）當(dāng)a=1時(shí)，問：是否存在正整數(shù)M，使得當(dāng)自然數(shù)n≥M時(shí)，恒有l(wèi)nn＞

1

2

+

1

3

+

1

4

+…+

1

n

成立？若存在，求出M的最小值，并證明你的結(jié)論；若不存在，說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）函數(shù)f（x）在[1，+∞）上為增函數(shù)，等價(jià)于f′（x）≥0在[1，+∞）上恒成立，分離參數(shù)，即可求a的范圍；
（2）利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)f（x）在區(qū)間(

1

2

，2)上的單調(diào)性，進(jìn)而求出最值，得出值域；
（3）先證明lnx≥1-

1

x

，再將x用

n

n-1

替代，即可證得結(jié)論．

解答： 解：（1）∵f（x）

1-x

ax

+lnx，
∴f′（x）=

-ax-a(1-x)

(ax)2

+

1

x

=

x- 1 a

x2

，
∴當(dāng)x≥

1

a

時(shí)，f′（x）≥0，f（x）在[

1

a

，+∞）上是增函數(shù)，
要使函數(shù)f（x）在[1，+∞）上為增函數(shù)，則有

1

a

≤1，即a＜0或a≥1，
∴a的取值范圍是（-∞，0）∪[1，+∞）．
（2）當(dāng)a=1時(shí)，f（x）=

1-x

x

+lnx，f′（x）=

x-1

x2

，
∴x∈（

1

2

，1）時(shí)，f′（x）＜0，x∈（1，2）時(shí)，f′（x）＞0．
∴當(dāng)x=1時(shí)，f（x）_min=f（1）=0，
又f（

1

2

）=1-ln2，f（2）=-

1

2

+ln2，f（

1

2

）-f（2）=ln

e e

4

＞0，
∴f（x）在區(qū)間(

1

2

，2)上的值域是[0，1-ln2）．
（3）證明：由（2）知，x∈[1，+∞）時(shí)，f（x）≥f（1）=0即

1-x

x

+lnx≥0，
∴l(xiāng)nx≥1-

1

x

（當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)取“=”）
∴當(dāng)n≥2時(shí)，將x用

n

n-1

替代得ln

n

n-1

＞1-

n-1

n

=

1

n

，
∴l(xiāng)n

2

1

+ln

3

2

+…+ln

n

n-1

＞

1

2

+

1

3

+…+

1

n

，
∴l(xiāng)nn＞

1

2

+

1

3

+…+

1

n

．
∴M_min=2．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性，考查不等式的證明，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于難題．