Question

已知函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），若y=

f(x)

x

在（0，+∞）上為增函數(shù)，則稱(chēng)f（x）為“一階比增函數(shù)”；若y=

f(x)

x2

在（0，+∞）上為增函數(shù)，則稱(chēng)f（x）為“二階比增函數(shù)”．
我們把所有“一階比增函數(shù)”組成的集合記為Ω₁，所有“二階比增函數(shù)”組成的集合記為Ω₂．
（1）已知函數(shù)f（x）=x³-2hx²-hx，若f（x）∈Ω₁且f（x）∉Ω₂，求實(shí)數(shù)h的取值范圍；
（2）已知0＜a＜b＜c，f（x）∈Ω₁且f（x）的部分函數(shù)值由下表給出，求證：d（2d+t-4）＞0；

x	a	b	c	a+b+c
f（x）	d	d	t	4

（3）定義集合ψ={f（x）|f（x）∈Ω₂，且存在常數(shù)k，使得任取x∈（0，+∞），f（x）＜k}，請(qǐng)問(wèn)：是否存在常數(shù)M，使得?f（x）∈ψ，?x∈（0，+∞），有f（x）＜M成立？若存在，求出M的最小值；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專(zhuān)題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）根據(jù)：f（x）∈Ω₁且f（x）∉Ω₂，可得y=

f(x)

x

=x²-2hx-h，利用二次函數(shù)的單調(diào)性可得-

-2h

2

=h≤0；由y=

f(x)

x2

=x-2h-

h

x

，y′=x+

h

x2

，對(duì)h分類(lèi)討論可得：當(dāng)h≥0，此時(shí)f（x）∈Ω₂；當(dāng)h＜0時(shí)，y′=

x3+h

x2

，函數(shù)

f(x)

x2

在x∈（0，+∞）有極值點(diǎn)，可得f（x）∉Ω₂．即可得出．
（2）由f（x）∈Ω₁，取0＜x₁＜x₂＜x₁+x₂，可得

f(x1)

x1

＜

f(x2)

x2

＜

f(x1+x2)

x1+x2

．由表格可知：f（a）=d，f（b）=d，f（c）=t，f（a+b+c）=4，0＜a＜b＜c＜a+b+c，利用“一階比增函數(shù)”可得

d

a

＜

d

b

＜

t

c

＜

4

a+b+c

，再利用不等式的性質(zhì)即可得出．
（3）根據(jù)“二階比增函數(shù)”先證明f（x）≤0對(duì)x∈（0，+∞）成立．再證明f（x）=0在（0，+∞）上無(wú)解．即可得出．

解答： （1）解：y=

f(x)

x

=x²-2hx-h，若f（x）∈Ω₁，則h≤0；
y=

f(x)

x2

=x-2h-

h

x

，y′=x+

h

x2

，當(dāng)h≥0，x＞0時(shí)，y′＞0，此時(shí)f（x）∈Ω₂，不符合題意，舍去；
當(dāng)h＜0時(shí)，y′=

x3+h

x2

，此時(shí)函數(shù)

f(x)

x2

在x∈（0，+∞）有極值點(diǎn)，因此f（x）∉Ω₂．
綜上可得：當(dāng)h＜0時(shí)，f（x）∈Ω₁且f（x）∉Ω₂．
因此h的取值范圍是（-∞，0）．
（2）證明：由f（x）∈Ω₁，若取0＜x₁＜x₂，
則

f(x1)

x1

＜

f(x2)

x2

＜

f(x1+x2)

x1+x2

．
由表格可知：f（a）=d，f（b）=d，f（c）=t，f（a+b+c）=4，
∵0＜a＜b＜c＜a+b+c，
∴

d

a

＜

d

b

＜

t

c

＜

4

a+b+c

，
∴d＜0，d＜

4a

a+b+c

，d＜

4b

a+b+c

，t＜

4a

a+b+c

，
∴2d+t＜4，
∴d（2d+t-4）＞0．
（Ⅲ）∵集合合ψ={f（x）|f（x）∈Ω₂，且存在常數(shù)k，使得任取x∈（0，+∞），f（x）＜k}，
∴存在f（x）∈ψ，存在常數(shù)k，使得 f（x）＜k 對(duì)x∈（0，+∞）成立．
我們先證明f（x）≤0對(duì)x∈（0，+∞）成立．
假設(shè)存在x₀∈（0，+∞），使得f（x₀）＞0，
記

f(x0)

x 2 0

=m＞0
∵f（x）是二階比增函數(shù)，即

f(x)

x2

是增函數(shù)．
∴當(dāng)x＞x₀時(shí)，

f(x)

x2

＞

f(x0)

x 2 0

=m＞0，
∴f（x）＞mx²，
∴一定可以找到一個(gè)x₁＞x₀，使得f（x₁）＞mx₁²＞k，
這與f（x）＜k 對(duì)x∈（0，+∞）成立矛盾．
即f（x）≤0對(duì)x∈（0，+∞）成立．
∴存在f（x）∈ψ，f（x）≤0對(duì)x∈（0，+∞）成立．
下面我們證明f（x）=0在（0，+∞）上無(wú)解．
假設(shè)存在x₂＞0，使得f（x₂）=0，
∵f（x）是二階增函數(shù)，即

f(x)

x2

是增函數(shù)．
一定存在x₃＞x₂＞0，使

f(x3)

x 2 3

＞

f(x2)

x 2 2

=0，這與上面證明的結(jié)果矛盾．
∴f（x）=0在（0，+∞）上無(wú)解．
綜上，我們得到存在f（x）∈ψ，f（x）＜0對(duì)x∈（0，+∞）成立．
∴存在常數(shù)M≥0，使得存在f（x）∈ψ，?x∈（0，+∞），有f（x）＜M成立．
又令f（x）=-

1

x

（x＞0），則f（x）＜0對(duì)x∈（0，+∞）成立，
又有

f(x)

x2

=-

1

x3

在（0，+∞）上是增函數(shù)，
∴f（x）∈ψ，
而任取常數(shù)k＜0，總可以找到一個(gè)x_n＞0，使得x＞x_n時(shí)，有f（x）＞k．
∴M的最小值 為0．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、導(dǎo)數(shù)的幾何意義，掌握導(dǎo)數(shù)法在確定函數(shù)單調(diào)性和最值時(shí)的答題步驟是解答的關(guān)鍵，考查了推理能力與計(jì)算能力，本題難度較大．