Question

10．隨機詢問某大學(xué)40名不同性別的大學(xué)生在購買食物時是否讀營養(yǎng)說明，得到如下2×2列聯(lián)表：

	讀營養(yǎng)說明	不讀營養(yǎng)說明	合計
男	16	4	20
女	8	12	20
合計	24	16	40

（1）根據(jù)以上列聯(lián)表進行獨立性檢驗，能否在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下認為“性別與是否讀營養(yǎng)說明之間有關(guān)系”？
（2）若采用分層抽樣的方法從讀營養(yǎng)說明的學(xué)生中隨機抽取3人，則男生和女生抽取的人數(shù)分別是多少？
（3）在（2）的條件下，從中隨機抽取2人，求恰有一男一女的概率．（n=a+b+c+d）參考公式：${K^2}=\frac{{n{{（ad-bc）}^2}}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$，

P（K2≥k0）	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
k0	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

Answer 1

分析 （1）計算觀測值，對照表中數(shù)據(jù)做出概率統(tǒng)計；
（2）根據(jù)分層抽樣原理，得出男、女生應(yīng)抽取的人數(shù)各是多少；
（3）利用列舉法計算基本事件數(shù)以及對應(yīng)的概率．

解答 解：（1）K²=$\frac{40×（16×12-4×8）^{2}}{20×20×24×16}$=6.67＞6.635，
∴能在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下，認為“性別與是否讀營養(yǎng)說明之間有關(guān)系”．
（2）根據(jù)分層抽樣原理，得
男生應(yīng)抽取的人數(shù)是：$\frac{16}{16+8}$×3=2（人），
女生抽取的人數(shù)是：$\frac{8}{16+8}$×3=1（人）；
（3）由（2）知，男生抽取的人數(shù)為2人，設(shè)為a，b；
女生抽取的人數(shù)為1人，設(shè)為c；
則所有基本事件數(shù)是：（a，b），（a，c），（b，c）共3種．
其中滿足條件的基本事件是：（a，c），（b，c）共2種，
所以，恰有一男一女的概率為P=$\frac{2}{3}$．

點評 本題考查了分層抽樣與古典概率計算公式、獨立性檢驗原理，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．