Question

20．已知拋物線y²=4x，橢圓$\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}=1$，它們有共同的焦點(diǎn)F₂，若P是兩曲線的一個(gè)公共點(diǎn)，且F₁是橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)，則△PF₁F₂的面積為（　　）

• A． $\sqrt{6}$
• B． $2\sqrt{6}$
• C． $\sqrt{3}$
• D． 2

Answer 1

分析 由已知得橢圓的半焦距c=1，m=8，設(shè)P（x₁，y₁），求出x₁=$\frac{3}{2}$，由此能求出${S}_{△P{F}_{1}{F}_{2}}$．

解答 解：依題意可知拋物線y²=4x焦點(diǎn)為（1，0），
∴橢圓的半焦距c=1，即9-m=1，m=8，
設(shè)P（x₁，y₁），由$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{{x}_{1}}^{2}}{9}+\frac{{{y}_{1}}^{2}}{8}=1}\\{{{y}_{1}}^{2}=4{x}_{1}}\end{array}\right.$，得 2x²₁+9x₁-18=0，∴x₁=$\frac{3}{2}$，或x₁=-6（舍）．
∵x=-1是y²=4x的準(zhǔn)線，即拋物線的準(zhǔn)線過橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)F₁．
設(shè)點(diǎn)P到拋物線y²=4x的準(zhǔn)線的距離為PN，則|PF₂|=|PN|．
又|PN|=x₁+1=$\frac{5}{2}$，
∴|PF₂|=$\frac{5}{2}$，|PF₁|=2a-$\frac{5}{2}$=$\frac{7}{2}$．
過點(diǎn)P作PP₁⊥x軸，垂足為P₁，PP₁=$\sqrt{6}$，
∴${S}_{△P{F}_{1}{F}_{2}}$=$\frac{1}{2}$|F₁F₂|•|PP₁|=$\sqrt{6}$．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查三角形面積的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意拋物線、橢圓性質(zhì)的合理運(yùn)用．