Question

15．如圖，A，H在圓上，過點H作圓的切線BC，AB，AC分別交圓于點M，N．
（1）求證：HB•HM•CN=HC•HN•BM；
（2）若AH為圓的直徑，求證：△AMN∽△ACB．

Answer 1

分析 （1）由BC與圓相切于點H，利用切割線定理可得：$\frac{H{B}^{2}}{H{C}^{2}}$=$\frac{BM•BA}{CN•CA}$，即：HB•CN•（HB•CA）=HC•BM•（HC•BA）．由∠BNM=∠BAH，∠B公用，可得△BHM∽△BAH，$\frac{HB}{AB}=\frac{HM}{AH}$．同理可得，$\frac{HC}{AC}=\frac{HN}{AH}$．即可證明．
（2）連接HM，利用圓的切線的性質(zhì)、直徑的性質(zhì)可得：B，C，N，M四點共圓，即可證明．

解答 證明：（1）∵BC與圓相切于點H，∴HB²=BM•BA，HC²=CN•CA，
∴$\frac{H{B}^{2}}{H{C}^{2}}$=$\frac{BM•BA}{CN•CA}$，可得：HB•CN•（HB•CA）=HC•BM•（HC•BA），（*）
∵∠BNM=∠BAH，∠B公用，∴△BHM∽△BAH，∴$\frac{HB}{AB}=\frac{HM}{AH}$．
同理可得，∴△CHN∽△CAH，∴$\frac{HC}{AC}=\frac{HN}{AH}$．
∴$\frac{HB•CA}{HC•BA}$=$\frac{HM}{HN}$，代入（*）可得：HB•HM•CN=HC•HN•BM．
（2）連接HM，
∵AH為圓O的直徑，BC與圓O相切于點H，∴AH⊥BC，
∴∠AMH=90°，∠AHM=∠B，
∵∠AHM=∠ANM，∴∠ANM=∠B，
∵∠ANM為四邊形BCNM的一個外角，
∴B，C，N，M四點共圓；
可得：∠ANM=∠B，∠AMN=∠C，
∴△ABC∽△ANM．

點評 本題考查了圓的性質(zhì)、圓的切線的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)定理、四點共圓的判定與性質(zhì)、切割線定理，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．