• (12分)在平面直角坐標系O中,直線與拋物線=2相交于A、B兩點.
    (Ⅰ)求證:命題“如果直線過點T(3,0),那么=3”是真命題;
    (Ⅱ)寫出(1)中命題的逆命題,判斷它是真命題還是假命題,并說明理由.

    (1)見解析
    (2)逆命題是:“設直線l交拋物線y2=2x于A、B兩點,如果,那么該直線過點T(3,0).”該命題是假命題.

    解析試題分析:(I)直線方程與拋物線方程聯(lián)立,消去x后利用韋達定理判斷=x1x2+y1y2=的值是否為3,從而確定此命題是否為真命題.
    (II)根據(jù)四種命題之間的關系寫出該命題的逆命題,然后再利用直線與拋物線的位置關系知識來判斷其真假.
    證明:(1)解法一:設過點T(3,0)的直線l交拋物線y2=2x于點A(x1,y1)、B(x2,y2).
    當直線l的鈄率不存在時,直線l的方程為x=3,此時,直線l與拋物線相交于
    A(3,)、B(3,-),∴=3.
    當直線l的鈄率存在時,設直線l的方程為y=k(x-3),其中k≠0.
    得ky2-2y-6k=0,則y1y2=-6. 又∵x1=y12, x2=y22
    =x1x2+y1y2=="3." 綜上所述, 命題“......”是真命題.
    解法二:設直線l的方程為my=x-3與y2="2x" 聯(lián)立得到y(tǒng)2-2my-6=0   =x1x2+y1y2
    =(my1+3) (my2+3)+ y1y2=(m2+1) y1y2+3m(y1+y2)+9=(m2+1)× (-6)+3m×2m+9=3
    (2)逆命題是:“設直線l交拋物線y2=2x于A、B兩點,如果,那么該直線過點T(3,0).”該命題是假命題.  例如:取拋物線上的點A(2,2),B(,1),此時=3,
    直線AB的方程為y= (x+1),而T(3,0)不在直線AB上.
    考點:四種命題之間的關系,直線與拋物線的位置關系,向量的數(shù)量積.
    點評:本小題本質(zhì)是以四種命題的關系為知識載體主要考查直線與拋物線的位置關系.由拋物線y2=2x上的點A(x1,y1)、B(x2,y2)滿足,可得y1y2=-6.或y1y2=2,如果y1y2=-6,可證得直線AB過點(3,0);如果y1y2="2," 可證得直線AB過點(-1,0),而不過點(3,0).

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