Question

6．為了解學(xué)生暑假閱讀名著的情況，一名教師對某班級的所有學(xué)生進行了調(diào)查，調(diào)查結(jié)果如表．

	1	2	3	4	5
男生	1	4	3	2	2
女生	0	1	3	3	1

（Ⅰ）從這班學(xué)生中任選一名男生，一名女生，求這兩名學(xué)生閱讀名著本數(shù)之和為4的概率？
（Ⅱ）若從閱讀名著不少于4本的學(xué)生中任選4人，設(shè)選到的男學(xué)生人數(shù)為X，求隨機變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望；
（Ⅲ）試判斷男學(xué)生閱讀名著本數(shù)的方差${s_1}^2$與女學(xué)生閱讀名著本數(shù)的方差${s_2}^2$的大�。ㄖ恍鑼懗鼋Y(jié)論）．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設(shè)事件A：從這個班級的學(xué)生中隨機選取一名男生，一名女生，這兩名學(xué)生閱讀本數(shù)之和為4．由此能求出這兩名學(xué)生閱讀名著本數(shù)之和為4的概率．
（Ⅱ）閱讀名著不少于4本的學(xué)生共8人，其中男學(xué)生人數(shù)為4人，故X的取值為0，1，2，3，4．分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出隨機變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望．
（Ⅲ）${s_1}^2＞$${s_2}^2$．

解答 （本小題滿分13分）
解：（Ⅰ）設(shè)事件A：從這個班級的學(xué)生中隨機選取一名男生，一名女生，
這兩名學(xué)生閱讀本數(shù)之和為4．
由題意可知，$P（A）=\frac{1×3+4×1}{12×8}=\frac{7}{96}$．…（4分）
（Ⅱ）閱讀名著不少于4本的學(xué)生共8人，其中男學(xué)生人數(shù)為4人，
故X的取值為0，1，2，3，4．
由題意可得$P（X=0）=\frac{C_4^4}{C_8^4}=\frac{1}{70}$，
$P（X=1）=\frac{C_4^1C_4^3}{C_8^4}=\frac{16}{70}=\frac{8}{35}$，
$P（X=2）=\frac{C_4^2C_4^2}{C_8^4}=\frac{36}{70}=\frac{18}{35}$，
$P（X=3）=\frac{C_4^3C_4^1}{C_8^4}=\frac{16}{70}=\frac{8}{35}$，
$P（X=4）=\frac{C_4^4}{C_8^4}=\frac{1}{70}$．
所以隨機變量X的分布列為

X	0	1	2	3	4
P	$\frac{1}{70}$	$\frac{8}{35}$	$\frac{18}{35}$	$\frac{8}{35}$	$\frac{1}{70}$

隨機變量X的均值$EX=0×\frac{1}{70}+1×\frac{16}{70}+2×\frac{36}{70}+3×\frac{16}{70}+4×\frac{1}{70}=2$．…（10分）
（Ⅲ）${s_1}^2＞$${s_2}^2$．…（13分）

點評 本題考查概率的求法，考查離散型隨機變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意排列組合知識的合理運用．