Question

4．已知a＞0且a≠1，若函數(shù)f（x）=log_a[ax²-（2-a）x+3]在[$\frac{1}{3}$，2]上是增函數(shù)，則a的取值范圍是{a|$\frac{1}{6}$＜a≤$\frac{2}{5}$ 或a≥$\frac{6}{5}$ }．

Answer 1

分析 利用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，二次函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，分類討論，求得a的范圍．

解答 解：∵a＞0且a≠1，若函數(shù)f（x）=log_a[ax²-（2-a）x+3]在[$\frac{1}{3}$，2]上是增函數(shù)，
設(shè)g（x）=ax²-（2-a）x+3，
當(dāng)a∈（0，1）時，則$\frac{2-a}{2a}$=$\frac{1}{a}$-$\frac{1}{2}$＞$\frac{1}{2}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{a}-\frac{1}{2}≥2}\\{g（2）=4a-4+2a+3＞0}\end{array}\right.$，求得$\frac{1}{6}$＜a≤$\frac{2}{5}$．
當(dāng)a＞1時，則$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{a}-\frac{1}{2}≤\frac{1}{3}}\\{g（\frac{1}{3}）=\frac{4a+21}{9}＞0}\end{array}\right.$，求得a≥$\frac{6}{5}$．
綜上可得，a的范圍為{a|$\frac{1}{6}$＜a≤$\frac{2}{5}$ 或a≥$\frac{6}{5}$ }，
故答案為：{a|$\frac{1}{6}$＜a≤$\frac{2}{5}$ 或a≥$\frac{6}{5}$ }．

點(diǎn)評 本題主要考查復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，二次函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題．