Question

下列函數(shù)中既是奇函數(shù)，又在區(qū)間[-1，1]上單調(diào)遞減的函數(shù)是（　　）

• A、f（x）=|tan2x|
• B、f（x）=-|x+1|
• C、f（x）=

  1

  2

  （2^-x-2^x）
• D、f（x）=log

  3

  2

  2-x

  2+x

Answer 1

考點：函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：分別根據(jù)函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性的定義進行判斷即可．

解答： 解：A，f（x）=|tan2x|為偶函數(shù)，不滿足第一個條件．
B，f（x）=-|x+1|為非奇非偶函數(shù)，不滿足第一個條件．
C，若f（x）=

1

2

（2^-x-2^x），則f（-x）=

1

2

（2^x-2^-x）=-f（x）為奇函數(shù)，
∵f（x）=

1

2

[（

1

2

）^x-2^x]，y=（

1

2

）^x為減函數(shù)，y=2^x，為增函數(shù)，y=-2^x為減函數(shù)，
∴根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)可知，函數(shù)f（x）在R上單調(diào)遞減，滿足條件．
D，若f（x）=log

3

2

2-x

2+x

，則由

2-x

2+x

＞0得-2＜x＜2，f（-x）=log

3

2

2+x

2-x

=-f(x)為奇函數(shù)，
∵f（x）=log

3

2

2-x

2+x

=log

3

2

(

4

x+2

-1)，
∴由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知函數(shù)f（x）在定義域上為增函數(shù)，不滿足條件，
故選：C．

點評：本題主要考查函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的判斷和應(yīng)用，要求熟練掌握常見函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性的性質(zhì)．