Question

20．在棱長為3的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，P在線段BD₁上，且$\frac{BP}{P{D}_{1}}=\frac{1}{2}$，M為線段B₁C₁上的動點，則三棱錐M-PBC的體積為（　�。�

• A． 1
• B． $\frac{3}{2}$
• C． $\frac{9}{2}$
• D． 與M點的位置有關(guān)

Answer 1

分析 如圖所示，連接BC₁，取$\frac{BN}{N{C}_{1}}$=$\frac{1}{2}$，可得PN∥D₁C₁，$\frac{PN}{{D}_{1}{C}_{1}}=\frac{BP}{B{D}_{1}}=\frac{1}{3}$=1，由于D₁C₁⊥平面BCC₁B₁，可得PN⊥平面BCC₁B₁，利用三棱錐M-PBC的體積=V_{三棱錐P-BCM}=$\frac{1}{3}PN•{S}_{△BCM}$即可得出．

解答 解：如圖所示，連接BC₁，取$\frac{BN}{N{C}_{1}}$=$\frac{1}{2}$，
則PN∥D₁C₁，$\frac{PN}{{D}_{1}{C}_{1}}=\frac{BP}{B{D}_{1}}=\frac{1}{3}$，PN=1，
∵D₁C₁⊥平面BCC₁B₁，
∴PN⊥平面BCC₁B₁，
即PN是三棱錐P-BCM的高．
∴V_{三棱錐M-PBC}=V_{三棱錐P-BCM}=$\frac{1}{3}PN•{S}_{△BCM}$=$\frac{1}{3}×1×\frac{1}{2}×{3}^{2}$=$\frac{3}{2}$．
故選：B．

點評 本題考查了正方體的性質(zhì)、線面垂直的判定與性質(zhì)定理、三角形中平行線分線段成比例定理的逆定理、三棱錐的體積計算公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．