Question

已知點(diǎn)P（-2，-3）和以Q為圓心的圓（x-m+1）²+（y-3m）²=4．
（1）求證：圓心Q在過點(diǎn)P的定直線上；
（2）當(dāng)m為何值時(shí)，以PQ為直徑的圓過原點(diǎn)？

Answer 1

考點(diǎn)：圓方程的綜合應(yīng)用

專題：計(jì)算題,證明題,直線與圓

分析：（1）求得圓心Q，令x=m-1，y=3m，消去m，即可得證；
（2）由于以PQ為直徑的圓過原點(diǎn)，則OP⊥OQ，運(yùn)用兩直線垂直則斜率之積為-1，解方程，即可得到所求值．

解答： （1）證明：圓（x-m+1）²+（y-3m）²=4的圓心Q（m-1，3m），半徑為2，
令x=m-1，y=3m，消去m，得，y=3（x+1），
代入P點(diǎn)（-2，-3）顯然成立，
則圓心Q在過點(diǎn)P的定直線上；
（2）解：由于以PQ為直徑的圓過原點(diǎn)，
則OP⊥OQ，
由點(diǎn)P（-2，-3）和Q（m-1，3m），
則有k_OP•k_OQ=-1，
即有

3

2

•

3m

m-1

=-1，
解得，m=

2

11

．
則有當(dāng)m為

2

11

時(shí)，以PQ為直徑的圓過原點(diǎn)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查圓的方程和運(yùn)用，考查直線和圓的位置關(guān)系，兩直線垂直的條件，考查運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．