Question

6．已知函數(shù)f（x）=ax²+lnx（a∈R）
（1）當(dāng)a=1時(shí)，求曲線f（x）在點(diǎn)P（1，1）處的切線方程；
（2）若f（x）在（0，e]是單調(diào)遞增函數(shù)，試求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出f（1）及f′（1）的值，代入點(diǎn)斜式方程即可得到答案；
（2）確定函數(shù)的定義域，求導(dǎo)函數(shù)．利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，分類討論，即可求得和的單調(diào)區(qū)間．

解答 解：函數(shù)y=f（x）的定義域?yàn)閤∈（0，+∞），$f'（x）=2ax+\frac{1}{x}$
（1）可見(jiàn)，切點(diǎn)為P（1，1），切線的斜率k=f'（1）=3，
∴切線方程為y-1=3（x-1），即：3x-y-2=0；
（2）由題知：$f'（x）=2ax+\frac{1}{x}≥0$在（0，e]上恒成立，
∴$a≥-\frac{1}{{2{x^2}}}$在（0，e]上恒成立，
而x∈（0，e]時(shí)，$-\frac{1}{{2{x^2}}}≤-\frac{1}{{2{e^2}}}$，
∴$a≥-\frac{1}{{2{e^2}}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力．