Question

15．已知函數(shù)$f（x）=\frac{1}{3}{x^3}+2a{x^2}+2$在區(qū)間[1，4]上是單調(diào)遞增函數(shù)，則實數(shù)a的最小值是（　�。�

• A． -1
• B． -4
• C． $-\frac{1}{4}$
• D． 1

Answer 1

分析 由題意可得f′（x）≥0在[1，4]上恒成立，即x∈[1，4]時，a≥$\frac{x}{4}$可得a的范圍．

解答 解：∵$f（x）=\frac{1}{3}{x^3}+2a{x^2}+2$，∴f′（x）=x²+4ax，
若f（x）在[2，4]上是單調(diào)遞增函數(shù)，
故有f′（x）≥0在[1，4]上恒成立，
即x+4a≥0在[1，4]上恒成立，
即a≥$\frac{x}{4}$在[1，4]上恒成立，
故a≥-$\frac{1}{4}$，
故選：C．

點評 本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，函數(shù)的恒成立問題．