Question

2．在平面直角坐標系中，以坐標原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，已知曲線C的極坐標方程為ρ²=$\frac{6}{1+si{n}^{2}θ}$．
（Ⅰ）將曲線C的極坐標方程化為直角坐標方程；
（Ⅱ）若直線l：ρsinθ-ρcosθ+1=0與曲線C交于不同的兩點M，N，求|MN|．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由x=ρcosθ，y=ρsinθ，x²+y²=ρ²，代入ρ²+ρ²sin²θ=6，即可得到所求直角坐標方程；
（Ⅱ）由x=ρcosθ，y=ρsinθ，代入直線l：ρsinθ-ρcosθ+1=0，可得直角坐標方程，代入曲線C的直角坐標方程，解方程可得交點坐標，由兩點的距離公式計算即可得到所求值．

解答 解：（Ⅰ）曲線C的極坐標方程是ρ²=$\frac{6}{1+si{n}^{2}θ}$，
即為ρ²+ρ²sin²θ=6，
由x=ρcosθ，y=ρsinθ，x²+y²=ρ²，
可得x²+y²+y²=6，
即$\frac{{x}^{2}}{6}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1；
（Ⅱ）直線l：ρsinθ-ρcosθ+1=0，
代入x=ρcosθ，y=ρsinθ，可得y-x+1=0，
代入曲線C：x²+2y²=6，
消去y，可得x²+2（x-1）²=6，
即為3x²-4x-4=0，
解得x₁=2或x₂=-$\frac{2}{3}$，
可得交點為M（2，1），N（-$\frac{2}{3}$，-$\frac{5}{3}$），
|MN|=$\sqrt{（2+\frac{2}{3}）^{2}+（1+\frac{5}{3}）^{2}}$=$\frac{8}{3}$$\sqrt{2}$．

點評 本題考查極坐標方程和直角坐標方程的互化，注意運用x=ρcosθ，y=ρsinθ，x²+y²=ρ²，考查直線和曲線相交的弦長的求法，注意運用聯(lián)立方程求交點，運用兩點的距離公式，考查運算能力，屬于基礎題．