Question

10．已知點P是二面角α-AB-β兩個半平面外一點，且滿足PC⊥α，PD⊥β，C、D是垂足．
（Ⅰ）試判斷直線AB線與直線CD的位置關系．并證明你的結(jié)論；
（Ⅱ）若二面角α-AB-β的大小為θ（0＜θ＜π），求∠CPD的大�。�

Answer 1

分析 （Ⅰ）在平面α內(nèi)過C作CO⊥AB，交AB于O，連結(jié)PO，DO，則PO⊥AB，DO⊥AB，由此能推導出直線AB線與直線CD異面垂直．
（Ⅱ）由∠COD是二面角α-AB-β的平面角，平面PDCO是平面圖形，能求出∠CPD的大�。�

解答 解：（Ⅰ）直線AB線與直線CD異面垂直．
證明如下：
如圖，在平面α內(nèi)過C作CO⊥AB，交AB于O，連結(jié)PO，DO，
∵點P是二面角α-AB-β兩個半平面外一點，
且滿足PC⊥α，PD⊥β，C、D是垂足，
∴PO⊥AB，DO⊥AB，
∴四邊形PDOC是平面圖形，且AB⊥平面PDOC，
∵CD?平面BDOC，∴AB⊥CD，
∵AB∩平面BDOC=O，且O∉CD，
∴AB與CD是異面直線，
∴直線AB線與直線CD異面垂直．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知CO⊥AB，DO⊥AB，
∴∠COD是二面角α-AB-β的平面角，∴∠COD=α，
∵平面PDCO是平面圖形，PC⊥CO，PD⊥DO，
∴∠CPD=π-α．

點評 本題考查兩條直線位置關系的判斷，考查角的大小的求法，是基礎題，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．