Question

14．已知函數(shù)f（x）=x²-2ax-2alnx（a∈R），則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（　�。�

• A． 當(dāng)a≥$\frac{1}{2}$時(shí)，函數(shù)y=f（x）有零點(diǎn)
• B． 若函數(shù)y=f（x）有零點(diǎn)，則a≥$\frac{1}{2}$
• C． 存在a＜0，使函數(shù)y=f（x）有唯一零點(diǎn)
• D． 若函數(shù)y=f（x）有唯一零點(diǎn)，則a≤1

Answer 1

分析 先將方程f（x）=0進(jìn)行參變量分離，得到2a=$\frac{{x}^{2}}{x+lnx}$，令g（x）=$\frac{{x}^{2}}{x+lnx}$，轉(zhuǎn)化成y=2a與y=g（x）的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)得到函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合函數(shù)的圖象可得A，C，D都正確，B錯(cuò)誤．

解答 解：令f（x）=x²-2ax-2alnx=0，則2a（x+lnx）=x²，
∴2a=$\frac{{x}^{2}}{x+lnx}$，令g（x）=$\frac{{x}^{2}}{x+lnx}$，
則g′（x）=$\frac{x（x-1+2lnx）}{（x+lnx）^{2}}$
令h（x）=x+lnx，通過(guò)作出兩個(gè)函數(shù)y=lnx及y=-x的圖象（如右圖）
發(fā)現(xiàn)h（x）有唯一零點(diǎn)在（0，1）上，
設(shè)這個(gè)零點(diǎn)為x₀，當(dāng)x∈（0，x₀）時(shí)，g′（x）＜0，g（x）在（0，x₀）上單調(diào)遞減，x=x₀是漸近線，
當(dāng)x∈（x₀，1）時(shí)，g′（x）＜0，則g（x）在（x₀，1）上單調(diào)遞減，
當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)g′（x）＞0，g（x）在（1，+∞）單調(diào)遞增，
∴g（1）=1，可以作出g（x）=$\frac{{x}^{2}}{x+lnx}$的大致圖象，
結(jié)合圖象可知，當(dāng)a＜0時(shí)，y=2a與y=g（x）的圖象只有一個(gè)交點(diǎn)，則函數(shù)y=f（x）只有一個(gè)零點(diǎn)，故選項(xiàng)A正確；
若函數(shù)y=f（x）有零點(diǎn)，則a＜0或a≥$\frac{1}{2}$，故選項(xiàng)A正確，B不正確，選項(xiàng)C正確；
若函數(shù)y=f（x）有唯一零點(diǎn)，則a≤1，故選項(xiàng)D正確．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的關(guān)系．函數(shù)的零點(diǎn)等價(jià)于對(duì)應(yīng)方程的根，等價(jià)于函數(shù)的圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，解題時(shí)要注意根據(jù)題意合理的選擇轉(zhuǎn)化．常運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法．屬于中檔題．