Question

11．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O的直線l與圓C：x²+y²-4x-1=0交于A，B兩點(diǎn)．
（1）若直線m：ax-2y+a+2=0（a＞0）與圓C相切，切點(diǎn)為B，求直線l的方程；
（2）若OB=2OA，求直線l的方程；
（3）若圓C與x軸的正半軸的交點(diǎn)為D，設(shè)直線L的斜率k，令kt=1，設(shè)△ABD面積為f（t），求f（t）

Answer 1

分析 （1）由直線與圓相切，得圓心到直線的距離d=r，列出方程求出a的值，從而求出直線l的方程；
（2）利用AB的中點(diǎn)M，結(jié)合OB=2OA，設(shè)出所求直線的方程，利用圓心到直線l的距離d和勾股定理，可以求出l的方程；
（3）設(shè)A，B兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)分別為y₁，y₂，求出點(diǎn)D的坐標(biāo)，寫(xiě)出△ABD的面積f（t），利用直線AB的方程與圓的方程聯(lián)立，結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系，即可求出f（t）的解析式．

解答 解：（1）由直線m：ax-2y+a+2=0（a＞0）與圓C：x²+y²-4x-1=0相切，
得圓心C（2，0）到直線的距離d=r=$\sqrt{5}$，
即$\frac{{|{3a+2}|}}{{\sqrt{{a^2}+4}}}=\sqrt{5}$，
化簡(jiǎn)得：a²+3a-4=0，
解得a=1或a=-4，
由于a＞0，故a=1；
由直線m與圓解得切點(diǎn)B（1，2），得l：y=2x；（3分）
（2）取AB的中點(diǎn)M，則AM=$\frac{1}{2}$AB，
又$OA=\frac{1}{3}AB$，所以$OM=\frac{1}{3}AM$，
設(shè)：OM=x，圓心到直線l的距離為d，
由勾股定理得：x²+d²=4，9x²+d²=5，解得${d^2}=\frac{31}{8}$，
設(shè)所求直線的方程為y=kx，$d=\frac{{|{2k}|}}{{\sqrt{1+{k^2}}}}$，
解得$k=±\sqrt{31}$，直線$l：y=±\sqrt{31}x$；（8分）
（3）如圖：設(shè)A，B兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)分別為y₁，y₂，
易知$D（2+\sqrt{5}，0）$，${S_{△ABD}}=\frac{1}{2}（2+\sqrt{5}）（|{y_1}|+|{y_2}|）$，
易知|y₁|+|y₂|=|y₁-y₂|，
設(shè)AB的方程為x=ty，
由$\left\{\begin{array}{l}x=ty\\{x^2}+{y^2}-4x-1=0\end{array}\right.$，消元得（t²+1）y²-4ty-1=0，
$|{{y_1}-{y_2}}|=\frac{{\sqrt{△}}}{{1+{t^2}}}=\frac{{\sqrt{20{t^2}+4}}}{{1+{t^2}}}$=$2\sqrt{\frac{{5{t^2}+1}}{{{{（{t^2}+1）}^2}}}}$，
則 $f（t）=2\sqrt{\frac{{5{t^2}+1}}{{{{（{t^2}+1）}^2}}}}（t∈R）$．（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查了直線與圓的方程的應(yīng)用問(wèn)題，也考查了函數(shù)與方程思想的綜合應(yīng)用問(wèn)題，是中檔題．