Question

若函數(shù)f（x）=2cos²x+asinx-1在區(qū)間（

π

6

，

π

2

）是減函數(shù)，則a的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點：三角函數(shù)中的恒等變換應用

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：首先，求解導數(shù)，然后將問題轉(zhuǎn)化為：f′（x）=-2sin2x+acosx≤0在區(qū)間（

π

6

，

π

2

）上恒成立問題，然后，分離參數(shù)求解其范圍．

解答： 解：∵函數(shù)f（x）=2cos²x+asinx-1，
∴f′（x）=2sin2x+acosx
∴f′（x）=-2sin2x+acosx≤0在區(qū)間（

π

6

，

π

2

）上恒成立，
∴a≤

2sin2x

cosx

=4sinx，
∵x∈（

π

6

，

π

2

）
∴sinx∈（

1

2

，1），
∴4sinx∈（2，4），
∴a≤2，
故答案為：（-∞，2]．

點評：本題重點考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)、導數(shù)的應用、函數(shù)的單調(diào)性與導數(shù)等知識，屬于中檔題，解題關(guān)鍵是注意恒成立問題的處理思路和方法．