Question

5．如圖，在Rt△ABC中，∠BCA=90°．CM與BN相交于點G，且CM⊥BN．若G是△ABC的重心，BC=2．求BN的長．

Answer 1

分析 設(shè)CN=x，根據(jù)重心的性質(zhì)和勾股定理，構(gòu)造關(guān)于x的方程，解方程求出x的值，進而可得BN的長．

解答 解：∵在Rt△ABC中，BC=2，G是△ABC的重心且∠BCA=90°，
∴M，N分別為AB，AC邊的中點，
設(shè)CN=x，則AC=2x，
在Rt△ABC中，AB=$\sqrt{4+4{x}^{2}}$=2$\sqrt{1+{x}^{2}}$，
∴CM=$\frac{1}{2}$AB=$\sqrt{1+{x}^{2}}$，
∴CG=$\frac{2}{3}$CM=$\frac{2}{3}$$\sqrt{1+{x}^{2}}$，
在Rt△NBC中，BN=$\sqrt{4+{x}^{2}}$，
∴BG=$\frac{2}{3}$BN=$\frac{2}{3}$$\sqrt{4+{x}^{2}}$，
又∵CM⊥BN．
∴在Rt△GBC中，BG²+CG²=BC²，
即$\frac{4}{9}（2{x}^{2}+5）=4$，
解得：x=$\sqrt{2}$，
∴BN=$\sqrt{4+{x}^{2}}$=$\sqrt{6}$

點評 本題考查的知識點是三角形的五心，熟練掌握重心的性質(zhì)，是解答的關(guān)鍵．