Question

7．函數(shù)f（x）=log_a（2x²+x），（a＞0，a≠1），若?x∈（0，$\frac{1}{2}$]，恒有f（x）＞0，解關(guān)于x的不等式：f[log₂（9^x+2^2x+1+1）]＞f[2log₄（6^x+4^x+1+1）]．

Answer 1

分析 根據(jù)題意，由f（x）＞0得出0＜a＜1；判斷f（x）在（0，+∞）上是減函數(shù)，
由此把所求的不等式化為對數(shù)不等式，再根據(jù)對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求出x的取值范圍即可．

解答 解：∵x∈（0，$\frac{1}{2}$）時，2x²+x∈（0，1），
函數(shù)f（x）=log_a（2x²+x）在x∈（0，$\frac{1}{2}$）時恒有f（x）＞0，
∴0＜a＜1；
由2x²+x＞0，得f（x）的定義域為（-∞，-$\frac{1}{2}$）∪（0+∞）；
又∵t=2x²+x在（0，+∞）上是增函數(shù)，
y=log_at在（0，+∞）上是減函數(shù)，
∴函數(shù)f（x）=log_a（2x²+x）在（0，+∞）上是減函數(shù)；
又∵9^x+2^2x+1+1＞1，6^x+4^x+1+1＞1，
∴l(xiāng)og₂（9^x+2^2x+1+1）＞0，2log₄（6^x+4^x+1+1）＞0；
由f（x）的單調(diào)性知，
f（log₂（9^x+2^2x+1+1））＞f（2log₄（6^x+4^x+1+1））可化為
log₂（9^x+2^2x+1+1）＜2log₄（6^x+4^x+1+1），
即9^x+2^2x+1+1＜6^x+4^x+1+1，
∴3^2x+2•2^2x＜2^x•3^x+4•2^2x；
∴${（\frac{3}{2}）}^{2x}$-${（\frac{3}{2}）}^{x}$-2＜0，
∴[${（\frac{3}{2}）}^{x}$-2][${（\frac{3}{2}）}^{x}$+1]＜0，
解得-1＜${（\frac{3}{2}）}^{x}$＜2，
即x＜${log}_{\frac{3}{2}}$2；
∴不等式的解集為{x|x＜${log}_{\frac{3}{2}}$2}．

點評 本題考查了對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)與應(yīng)用問題，也考查了不等式的解法與應(yīng)用問題，是綜合性題目．