Question

2．給出下列五個命題：
①函數(shù)f（x）=lg（$\sqrt{{x}^{2}+1}$-x）是R上的奇函數(shù)
②把函數(shù)f（x）=2sin2x圖象上每個點的橫坐標伸長到原來的3倍，然后再向右平移$\frac{π}{6}$個單位，得到的函數(shù)解析式可以表示為g（x）=2sin（$\frac{1}{2}$x-$\frac{π}{6}$）
③化簡sin40°（tan10°-$\sqrt{3}$）的最簡結(jié)果是1
④函數(shù)f（x）=2cos2x，若x₁，x₂滿足：對任意x都有f（x₁）≤f（x）≤f（x₂）成立，則|x₁-x₂|的最小值為$\frac{π}{2}$
⑤已知△ABC中，$\overrightarrow{AB}$=（cos18°，cos72°），$\overrightarrow{BC}$=（2cos63°，2cos27°），則∠B=135°
其中正確命題的序號是①④⑤（把你認為正確的命題序號都填上）

Answer 1

分析 ①根據(jù)奇函數(shù)的定義得到：f（-x）=-f（x）；
②根據(jù)三角函數(shù)的圖象變換進行判斷；
③根據(jù)切化弦、兩角和的余弦公式、倍角的正弦公式和誘導(dǎo)公式化簡；
④根據(jù)三角函數(shù)的對稱性和最值性結(jié)合三角函數(shù)的周期性進行判斷即可；
⑤利用向量的夾角公式和數(shù)量積運算、模的計算公式、三角函數(shù)的平方關(guān)系、兩角和差的正弦公式即可得出．

解答 解：①∵f（-x）=lg（$\sqrt{{x}^{2}+1}$+x），-f（x）=-lg（$\sqrt{{x}^{2}+1}$-x）=lg$\frac{1}{\sqrt{{x}^{2}+1}-x}$=lg$\frac{\sqrt{{x}^{2}+1}+x}{（\sqrt{{x}^{2}+1）^{2}-{x}^{2}}}$=lg（$\sqrt{{x}^{2}+1}$+x），
∴f（-x）=-f（x），
∴函數(shù)f（x）=lg（$\sqrt{{x}^{2}+1}$-x）是R上的奇函數(shù)．
故①正確；
②把函數(shù)f（x）=2sin2x圖象上每個點的橫坐標伸長到原來的3倍，得到函數(shù)f（x）=2sin$\frac{2}{3}$x，然后再向右平移$\frac{π}{6}$個單位得到的函數(shù)解析式可以表示為g（x）=2sin$\frac{2}{3}$（x-$\frac{π}{6}$）=2sin（$\frac{2}{3}$x-$\frac{π}{9}$）．
故②錯誤；
③sin40°（tan10°-$\sqrt{3}$）=sin40°（$\frac{sin10°}{cos10°}$-$\sqrt{3}$）
=-sin40°×$\frac{\sqrt{3}cos10°-sin10°}{cos10°}$=-sin40°×$\frac{2（\frac{\sqrt{3}}{2}cos10°-\frac{1}{2}sin10°）}{cos10°}$=-sin40°×$\frac{2cos40°}{cos10°}$=-$\frac{sin80°}{cos10°}$=-1．
故③錯誤；
④若存在實數(shù)x₁、x₂，使得對任意x都有f（x₁）≤f（x）≤f（x₂）成立，
則f（x₁）為函數(shù)f（x）的最小值，f（x₂）為函數(shù)f（x）的最大值，
則|x₁-x₂|的最小值為$\frac{T}{2}$=$\frac{1}{2}$×$\frac{2π}{2}$=$\frac{π}{2}$，
故④正確；
⑤：∵$\overrightarrow{BA}$•$\overrightarrow{BC}$=-cos18°•2cos63°-cos72°•2cos27°
=-2（sin27°cos18°+cos27°sin18°）=-2sin45°=-$\sqrt{2}$．
$\overrightarrow{BA}$=$\sqrt{co{s}^{2}18°+si{n}^{2}18°}$=1，$\overrightarrow{BC}$=$\sqrt{4co{s}^{2}63°+4co{s}^{2}27°}$=2$\sqrt{si{n}^{2}27°+co{s}^{2}27°}$=2．
∴cosB=$\frac{\overrightarrow{BA}•\overrightarrow{BC}}{|\overrightarrow{BA}|•|\overrightarrow{BC}|}$=$\frac{-\sqrt{2}}{2}$，
∴∠B=135°．
故⑤正確．
綜上所述，正確的結(jié)論是①④⑤．
故答案是：①④⑤．

點評 本題主要考查命題的真假判斷，涉及的內(nèi)容主要是三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)以及三角函數(shù)的圖象變換，綜合考查三角形的性質(zhì)的應(yīng)用．