Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，且滿足S_n=2a_n-n，n∈N^*．
（Ⅰ）證明：數(shù)列{a_n+1}為等比數(shù)列；
（Ⅱ）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅲ）對于（Ⅱ）中數(shù)列{a_n}，若數(shù)列{b_n}滿足b_n=log₂（a_n+1）（n∈N^*），在b_k與b_k+1之間插入2^k-1（k∈N^*）個2，得到一個新的數(shù)列{c_n}，試問：是否存在正整數(shù)m，使得數(shù)列{c_n}的前m項的和T_m=2013？如果存在，求出m的值；如果不存在，說明理由．

Answer 1

考點：數(shù)列遞推式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）在數(shù)列遞推式中取n=n+1得到另一遞推式，作差后變形得到

an+1+1

an+1

=2，即說明數(shù)列{a_n+1}為等比數(shù)列；
（Ⅱ）直接由數(shù)列{a_n+1}為等比數(shù)列寫出其通項公式，則可得到數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅲ）把數(shù)列{a_n}的通項公式代入b_n=log₂（a_n+1），得到數(shù)列{b_n}的通項公式，由題意求得數(shù)列{c_n}中，b_k（含b_k項）前的所有項的和，然后求出使得數(shù)列{c_n}的前m項的和T_m=2013的m值．

解答： （Ⅰ）證明：由S_n=2a_n-n，得S_n+1=2a_n+1-（n+1），
∴a_n+1=2a_n+1-2a_n-1，a_n+1=2a_n+1，
則a_n+1+1=2（a_n+1），
∴

an+1+1

an+1

=2．
又當n=1時，S₁=2a₁-1，得a₁=1，a₁+1=2．
∴數(shù)列{a_n+1}是首項為2，公比為2的等比數(shù)列；
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）得a_n+1=（a₁+1）2^n-1=2ⁿ，故a_n=2ⁿ-1．
（Ⅲ）解：由（Ⅱ）得b_n=log₂2ⁿ，即b_n=n（n∈N^*）．
數(shù)列{c_n}中，b_k（含b_k項）前的所有項的和是：
（1+2+3+…+k）+（2⁰+2¹+2²+…+2^k-2）2=

k(k+1)

2

+2^k-2．
當k=10時，其和是55+2¹⁰-2=1077＜2013．
當k=11時，其和是66+2¹¹-2=2112＞2013．
又∵2013-1077=936=468×2，是2的倍數(shù)，
∴當m=10+（1+2+2²+…+2⁸）+468=989時，T_m=2013．
∴存在m=989，使得T_m=2013．

點評：本題考查了數(shù)列遞推式，考查了等比關系的確定，對于（Ⅲ）的理解是解答此題的關鍵，屬中高檔題．