Question

數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，若a₁=3，S_n和{a_n}滿足等式S_n+1=

n+1

n

S_n+n+1，
（1）求S₂的值；
（2）求證：數(shù)列{

Sn

n

}是等差數(shù)列；
（3）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．

Answer 1

考點(diǎn)：等差數(shù)列的性質(zhì)

專題：綜合題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）n=2代入，即可求S₂的值；
（2）條件兩邊同除以n+1，可得數(shù)列{

Sn

n

}是等差數(shù)列；
（3）求出S_n，利用當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1，求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．

解答： （1）解：由已知：S₂=2S₁+2=2a₁+2=8…（2分）
（2）證明：∵Sn+1=

n+1

n

Sn+n+1
同除以n+1，可得

Sn+1

n+1

-

Sn

n

=1…（4分）
∴{

Sn

n

}是以3為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列．…（6分）
（3）解：由（2）可知，Sn=n2+2n(n∈N*)…（8分）
∴當(dāng)n=1時(shí)，a₁=3…（10分）
當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=2n+1…（11分）
經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)n=1時(shí)也成立∴a_n=2n+1（n∈N^*）…（12分）

點(diǎn)評：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)與求和，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．