Question

3．已知$\overrightarrow a$，$\overrightarrow b$的夾角為120°，且|$\overrightarrow a$|=4，|$\overrightarrow b$|=2，求：
（1）（$\overrightarrow a$-2$\overrightarrow b$）•（$\overrightarrow a$+$\overrightarrow b$）；  
（2）|3$\overrightarrow a$-4$\overrightarrow b$|．

Answer 1

分析 由已知求出$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$．
（1）把要求得數(shù)量積展開，代入${\overrightarrow{a}}^{2}、{\overrightarrow}^{2}、\overrightarrow{a}•\overrightarrow$得答案；
（2）求出$|3\overrightarrow{a}-4\overrightarrow{|}^{2}$，開方得答案．

解答 解：由$\overrightarrow a$，$\overrightarrow b$的夾角為120°，且|$\overrightarrow a$|=4，|$\overrightarrow b$|=2，得
$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$=|$\overrightarrow{a}$||$\overrightarrow$|cos 120°=4×2×（-$\frac{1}{2}$）=-4．
（1）（$\overrightarrow a$-2$\overrightarrow b$）•（$\overrightarrow a$+$\overrightarrow b$）=${\overrightarrow{a}}^{2}-2\overrightarrow{a}•\overrightarrow+\overrightarrow{a}•\overrightarrow-2{\overrightarrow}^{2}$=4²-2×（-4）+（-4）-2×2²=12；
（2）∵$|3\overrightarrow{a}-4\overrightarrow{|}^{2}=9{\overrightarrow{a}}^{2}-24\overrightarrow{a}•\overrightarrow+16{\overrightarrow}^{2}$=9×4²-24×（-4）+16×2²=16×19，
∴|3$\overrightarrow a$-4$\overrightarrow b$|=4$\sqrt{19}$．

點評 本題考查平面向量的數(shù)量積運算，考查向量模的求法，體現(xiàn)了數(shù)學轉(zhuǎn)化思想方法，是中檔題．