Question

15．已知函數(shù)$f（x）=\frac{1}{3}{x^3}-\frac{3}{2}{x^2}+2x+5$．
（1）求函數(shù)f（x）的圖象在點（3，f（3））處的切線方程．
（2）若曲線y=f（x）與y=2x+m有三個不同的交點，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求導數(shù)，確定切線斜率、切點坐標，即可求函數(shù)f（x）的圖象在點（3，f（3））處的切線方程．
（2）令f（x）=2x+m，即$\frac{1}{3}$x³-$\frac{3}{2}$x²+2x+5=2x+m，設g（x）=$\frac{1}{3}$x³-$\frac{3}{2}$x²+5，若曲線y=f（x）與y=2x+m有三個不同的交點，轉化為函數(shù)y=g（x）與y=m有三個不同的交點，即可求實數(shù)m的取值范圍．

解答 解：（1）∵函數(shù)$f（x）=\frac{1}{3}{x^3}-\frac{3}{2}{x^2}+2x+5$，
∴f'（x）=x²-3x+2，…（1分）
f'（3）=2，$f（3）=\frac{13}{2}$…（3分）
f（x）在（3，f（3））處的切線方程是$y-\frac{13}{2}=2（x-3）$，…（4分）
即4x-2y+1=0…（5分）
（2）令f（x）=2x+m，即$\frac{1}{3}$x³-$\frac{3}{2}$x²+2x+5=2x+m，
∴$\frac{1}{3}$x³-$\frac{3}{2}$x²+5=m，
設g（x）=$\frac{1}{3}$x³-$\frac{3}{2}$x²+5，…（7分）
∵曲線y=f（x）與y=2x+m有三個不同的交點，
∴函數(shù)y=g（x）與y=m有三個不同的交點，
令g'（x）=0，解得x=0或x=3，
當x＜0或x＞3時，g'（x）＞0，
當0＜x＜3時，g'（x）＜0，
∴g（x）在（-∞，0），（3，+∞）單調遞增，在（0，3）單調遞減，…（9分）
∵g（0）=5，g（3）=$\frac{1}{2}$，
即$g{（x）_{極大值}}=5，g{（x）_{極小值}}=\frac{1}{2}$，…（11分）
畫出函數(shù)g（x）的大致圖象如圖，

∴實數(shù)m的取值范圍為$\frac{1}{2}＜m＜5$．…（12分）

點評 本題考查導數(shù)知識的綜合運用，考查導數(shù)的幾何意義，考查函數(shù)圖象的交點問題，考查學生轉化問題的能力，屬于中檔題．