Question

7．若函數(shù)$f（x）=|sinx+\frac{2}{3+sinx}+t|（x，t∈R）$最大值記為g（t），則函數(shù)g（t）的最小值為$\frac{3}{4}$．

Answer 1

分析 化簡(jiǎn)sinx+$\frac{2}{3+sinx}$=sinx+3+$\frac{2}{3+sinx}$-3，從而可得0≤sinx+3+$\frac{2}{3+sinx}$-3≤$\frac{3}{2}$，區(qū)間[0，$\frac{3}{2}$]的中點(diǎn)值為$\frac{3}{4}$，故討論t與$\frac{3}{4}$的大小，從而求得g（t）=f_max（x）=$\left\{\begin{array}{l}{t，t≥\frac{3}{4}}\\{\frac{3}{2}-t，t＜\frac{3}{4}}\end{array}\right.$，從而求值．

解答 解：∵sinx+$\frac{2}{3+sinx}$
=sinx+3+$\frac{2}{3+sinx}$-3，
∵-1≤sinx≤1，
∴2≤sinx+3≤4，
∴3≤sinx+3+$\frac{2}{3+sinx}$≤$\frac{9}{2}$，
∴0≤sinx+3+$\frac{2}{3+sinx}$-3≤$\frac{3}{2}$，
∴g（t）=f_max（x）=$\left\{\begin{array}{l}{t，t≥\frac{3}{4}}\\{\frac{3}{2}-t，t＜\frac{3}{4}}\end{array}\right.$，
∴當(dāng)t=$\frac{3}{4}$時(shí)，函數(shù)g（t）有最小值為$\frac{3}{4}$；
故答案為；$\frac{3}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了對(duì)勾函數(shù)的應(yīng)用及分段函數(shù)的應(yīng)用，同時(shí)考查了正弦函數(shù)的性質(zhì)及整體思想與分類討論的思想．