Question

19．在正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=2$\sqrt{2}$，AA₁=4，E，F(xiàn)分別為棱AB，CD的中點，則三棱錐B₁-EFD₁的體積為（　�。�

• A． $\frac{\sqrt{6}}{6}$
• B． $\frac{16\sqrt{3}}{3}$
• C． $\frac{16}{3}$
• D． 16

Answer 1

分析 三棱錐B₁-EFD₁的體積等于四棱柱的體積減去兩個三棱柱和兩個三棱錐的體積．

解答 解：V_四棱柱=2$\sqrt{2}$×$2\sqrt{2}$×4=32．
V${\;}_{棱柱{A}_{1}AE-{D}_{1}DF}$=V${\;}_{棱柱EB{B}_{1}-FC{C}_{1}}$=$\frac{1}{2}×\sqrt{2}×4×2\sqrt{2}$=8．
V${\;}_{棱錐E-{A}_{1}B{{\;}_{1}D}_{1}}$=V${\;}_{棱錐F-{B}_{1}C{{\;}_{1}D}_{1}}$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×2\sqrt{2}×2\sqrt{2}×4$=$\frac{16}{3}$．
∴三棱錐B₁-EFD₁的體積V=V_四棱柱-V${\;}_{棱柱{A}_{1}AE-{D}_{1}DF}$-V${\;}_{棱柱EB{B}_{1}-FC{C}_{1}}$-V${\;}_{棱錐E-{A}_{1}B{{\;}_{1}D}_{1}}$-V${\;}_{棱錐F-{B}_{1}C{{\;}_{1}D}_{1}}$
=32-8-8-$\frac{16}{3}-\frac{16}{3}$=$\frac{16}{3}$．
故選：C．

點評 本題考查了空間幾何體的體積計算，作差法求體積是一種常用方法．