Question

9．已知函數(shù)f（x）=2sin（2x+$\frac{2π}{3}$）．
（1）當(dāng)x∈（-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{3}$]時(shí)，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間，最大值，最小值以及取得最大（�。┲禃r(shí)x的值的集合；
（2）設(shè)銳角△ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且f（A）=0，求sinB•sinC的最大值，以及取得最大值時(shí)三角形的形狀；
（3）當(dāng)x∈（-$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{6}$]時(shí)，方程f（x）=a+1有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)解，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出2x+$\frac{2π}{3}$的范圍結(jié)合三角函數(shù)的單調(diào)性和最值性即可求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間，最大值，最小值以及取得最大（小）值時(shí)x的值的集合；
（2）由f（A）=0得A=$\frac{π}{6}$，然后利用兩角和差的正弦公式化簡sinB•sinC，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)即可得到結(jié)論．
（3）求出2x+$\frac{2π}{3}$的范圍，結(jié)合三角函數(shù)的圖象進(jìn)行求解．

解答 解：（1）∵x∈（-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{3}$]，
∴2x∈（-π，$\frac{2π}{3}$]，
2x+$\frac{2π}{3}$∈（-$\frac{π}{3}$，$\frac{4π}{3}$]，
則當(dāng)-$\frac{π}{3}$＜2x+$\frac{2π}{3}$≤$\frac{π}{2}$，即-$\frac{π}{2}$＜x≤$-\frac{π}{12}$時(shí)，函數(shù)為增函數(shù)，即遞增區(qū)間為（-$\frac{π}{2}$，$-\frac{π}{12}$]，
當(dāng)$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{2π}{3}$≤$\frac{4π}{3}$，即$-\frac{π}{12}$≤x≤$\frac{π}{3}$時(shí)，函數(shù)為減函數(shù)，即遞增區(qū)間為[$-\frac{π}{12}$，$\frac{π}{3}$]，
∴當(dāng)2x+$\frac{2π}{3}$=$\frac{π}{2}$，k∈z時(shí)，函數(shù)取得最大值為2，此時(shí)，x=$-\frac{π}{12}$，即{x|x=$-\frac{π}{12}$}
當(dāng)2x+$\frac{2π}{3}$=$\frac{4π}{3}$時(shí)，函數(shù)取得最小值為2sin$\frac{4π}{3}$=-2×$（-\frac{\sqrt{3}}{2}）$=-$\sqrt{3}$，此時(shí)x=$\frac{π}{3}$，即{x|x=$\frac{π}{3}$}．
（2）∵f（A）=2sin（2A+$\frac{2π}{3}$）=0．
∴2A+$\frac{2π}{3}$=kπ，即A=$\frac{kπ}{2}$-$\frac{π}{3}$，
則當(dāng)k=1時(shí)，A=$\frac{π}{2}-\frac{π}{3}$=$\frac{π}{6}$，
當(dāng)k=2時(shí)，A=$\frac{2π}{3}$，（舍），
則B+C=$\frac{5π}{6}$，
即C=$\frac{5π}{6}$-B，
∵三角形是銳角三角形，
∴由0＜$\frac{5π}{6}$-B＜$\frac{π}{2}$得$\frac{π}{3}$＜B＜$\frac{5π}{6}$，
又0＜B＜$\frac{π}{2}$得$\frac{π}{3}$＜B＜$\frac{π}{2}$，
則sinB•sinC=sinB•sin（$\frac{5π}{6}$-B）=sinB（$\frac{1}{2}$cosB+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinB）=$\frac{1}{2}$sinBcosB+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin²B
=$\frac{1}{4}$sin2B+$\frac{\sqrt{3}}{2}$×$\frac{1-cos2B}{2}$=$\frac{1}{4}$sin2B-$\frac{\sqrt{3}}{4}$cos2B+$\frac{\sqrt{3}}{4}$
=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2}$sin2B-$\frac{\sqrt{3}}{2}$cos2B）+$\frac{\sqrt{3}}{4}$
=$\frac{1}{2}$sin（2B-$\frac{π}{3}$）+$\frac{\sqrt{3}}{4}$，
∵$\frac{π}{3}$＜B＜$\frac{π}{2}$，
∴$\frac{π}{3}$＜2B-$\frac{π}{3}$＜$\frac{2π}{3}$，
∴當(dāng)2B-$\frac{π}{3}$=$\frac{π}{2}$時(shí)，sinB•sinC取得最大值為$\frac{1}{2}$+$\frac{\sqrt{3}}{4}$，此時(shí)B=$\frac{5π}{12}$，
此時(shí)C=$\frac{5π}{6}$-B=$\frac{5π}{6}$-$\frac{5π}{12}$=$\frac{5π}{12}$，
即B=C，在三角形為等腰三角形．
（3）當(dāng)x∈（-$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{6}$]時(shí)，∴2x∈（-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{3}$]，
則2x+$\frac{2π}{3}$∈（$\frac{π}{6}$，π]，
設(shè)t=2x+$\frac{2π}{3}$，則t∈（$\frac{π}{6}$，π]，
則函數(shù)等價(jià)為y=2sint，t∈（$\frac{π}{6}$，π]，
當(dāng)t=$\frac{π}{6}$時(shí)，y=2sin$\frac{π}{6}$=2×$\frac{1}{2}$=1，
要使f（x）=a+1有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)解，
則0≤a+1≤1，
解得-1≤a≤0．

點(diǎn)評 本題主要考查考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，利用兩角和差的正弦公式，求出角的范圍是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強(qiáng)，運(yùn)算量較大．