Question

14．設M=（$\frac{1}{a}$-1）（$\frac{1}$-1）（$\frac{1}{c}$-1），且a+b+c=1，（a、b、c∈R⁺），則M的取值范圍是（　�。�

• A． [0，$\frac{1}{8}$]
• B． [$\frac{1}{8}$，1]
• C． [1，8]
• D． [8，+∞）

Answer 1

分析 將M中$\frac{1}{a}$，$\frac{1}$，$\frac{1}{c}$的分子1用a+b+c表示；通分，利用基本不等式求出M的范圍．

解答 解：M=（$\frac{1}{a}$-1）（$\frac{1}$-1）（$\frac{1}{c}$-1）
=（$\frac{a+b+c}{a}$-1）（$\frac{a+b+c}$-1）（$\frac{a+b+c}{c}$-1）
=$\frac{（b+c）（a+c）（a+b）}{abc}$≥$\frac{8\sqrt{bc}•\sqrt{ac}•\sqrt{ab}}{abc}$=8．
故選D．

點評 本題考查等量代換的方法、考查利用基本不等式求函數(shù)最值需滿足的條件：一正、二定、三相等．