Question

15．設函數f（x）=ax²+（a-2）x-lnx
（1）求函數f（x）的單調區(qū)間；
（2）設函數g（x）=f（x）-（a-2）x，若不等式g（x）≥0在區(qū)間（0，+∞）上恒成立，求實數a的取值范圍；
（3）求證：$\frac{ln2}{{2}^{4}}$+$\frac{ln3}{{3}^{4}}$+$\frac{ln4}{{4}^{4}}$+…+$\frac{lnn}{{n}^{4}}$$＜\frac{3}{8e}$（n∈N，n≥2）

Answer 1

分析 （1）確定函數的定義域，分類討論，利用導數的正負，可得函數f（x）的單調區(qū)間；
（2）分離參數，確定函數的單調性，求最值，即可得出結論；
（3）由（2）知，$\frac{lnx}{{x}^{2}}≤\frac{1}{2e}$，可得$\frac{lnx}{{x}^{4}}≤\frac{1}{2e}•\frac{1}{{x}^{2}}$，再放縮，裂項求和，可得結論．

解答 解：（1）函數的定義域為（0，+∞）．
∵f′（x）=$\frac{（2x+1）（ax-1）}{x}$，
∴a≤0時，f′（x）＜0，函數的單調減區(qū)間為（0，+∞）；
a＞0時，f′（x）＜0，可得0＜x＜$\frac{1}{a}$，f′（x）＞0，可得x＞$\frac{1}{a}$，
∴函數的單調減區(qū)間為（0，$\frac{1}{a}$），單調增區(qū)間為（$\frac{1}{a}$，+∞）；
（2）∵g（x）=ax²-lnx≥0，
∴a≥$\frac{lnx}{{x}^{2}}$，
設h（x）=$\frac{lnx}{{x}^{2}}$，則h′（x）=$\frac{1-2lnx}{{x}^{3}}$
∴h（x）在（0，$\sqrt{e}$）上單調遞增，在（$\sqrt{e}$，+∞）上單調遞減，
∴h（x）≤h（$\sqrt{e}$）=$\frac{1}{2e}$，
∴a≥$\frac{1}{2e}$；
（3）由（2）知，$\frac{lnx}{{x}^{2}}≤\frac{1}{2e}$，∴$\frac{lnx}{{x}^{4}}≤\frac{1}{2e}•\frac{1}{{x}^{2}}$，
∴$\frac{ln2}{{2}^{4}}$+$\frac{ln3}{{3}^{4}}$+$\frac{ln4}{{4}^{4}}$+…+$\frac{lnn}{{n}^{4}}$＜$\frac{1}{2e}$（$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{1}{{3}^{2}}$+…+$\frac{1}{{n}^{2}}$）（n≥2）
∵$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{1}{{3}^{2}}$+…+$\frac{1}{{n}^{2}}$＜$\frac{1}{1×3}$+$\frac{1}{2×4}$+…+$\frac{1}{（n-1）（n+1）}$
=$\frac{1}{2}$[（1-$\frac{1}{3}$）+（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{4}$）+…+（$\frac{1}{n-1}$-$\frac{1}{n+1}$）]
=$\frac{1}{2}$（1+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$）＜$\frac{3}{4}$，
∴：$\frac{ln2}{{2}^{4}}$+$\frac{ln3}{{3}^{4}}$+$\frac{ln4}{{4}^{4}}$+…+$\frac{lnn}{{n}^{4}}$$＜\frac{3}{8e}$（n∈N，n≥2）

點評 本題考查導數知識的綜合運用，考查函數的單調性，考查不等式的證明，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．