Question

20．已知函數(shù)f（x）=x³-3ax²+2bx在x=1處有極小值-1，
（1）求函數(shù)f（x）的解析式，
（2）求出函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

分析 （1）由題意可得f（1）=-1，求出函數(shù)的導數(shù)，可得f′（1）=0，解方程可得a，b，進而得到函數(shù)的解析式；
（2）求得導數(shù)，令導數(shù)大于0，可得增區(qū)間；令導數(shù)小于0，可得減區(qū)間，注意二次不等式的解法．

解答 解：（1）由已知，可得f（1）=1-3a+2b=-1，①
又f′（x）=3x²-6ax+2b，
即有f′（1）=3-6a+2b=0，②
由①，②，解得a=$\frac{1}{3}$，b=-$\frac{1}{2}$．
故函數(shù)的解析式為f（x）=x³-x²-x．
（2）由此得f′（x）=3x²-2x-1，
根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，當x＜-$\frac{1}{3}$或x＞1時，f′（x）＞0；
當-$\frac{1}{3}$＜x＜1時，f′（x）＜0．
因此函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為（-∞，-$\frac{1}{3}$）和（1，+∞），函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為（-$\frac{1}{3}$，1）．

點評 本題考查導數(shù)的運用：求極值和單調(diào)區(qū)間，主要考查二次不等式的解法和函數(shù)的解析式的求法，屬于中檔題．