Question

6．已知函數f（x）=x²+ax-lnx（a∈R）．
（Ⅰ）當a=0時，求f（x）的單調區(qū)間與極值；
（Ⅱ）令g（x）=f（x）-x²，若函數g（x）在x∈（0，e]的最小值為3，求實數a的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據導數和函數的單調性以及極值的關系即可求出
（Ⅱ）求導函數，分類討論，確定函數的單調性，利用函數g（x）的最小值是3，即可求出a的值

解答 解：（Ⅰ）當a=0時，f（x）=x²-lnx（a∈R）的定義域為（0，+∞）．$f（x）=2x-\frac{1}{x}=\frac{{2{x^2}-1}}{x}=\frac{{（\sqrt{2}x-1）（\sqrt{2}x+1）}}{x}（x＞0）$，畫圖列表如下：

x	$（0，\frac{1}{{\sqrt{2}}}）$		$（\frac{1}{{\sqrt{2}}}，+∞）$
f'（x）	-	0	+
f（x）	↘	極小值	↗

由上表可得f（x）的單調遞減區(qū)間為$（0，\frac{1}{{\sqrt{2}}}）$，遞增區(qū)間為$（\frac{1}{{\sqrt{2}}}，+∞）$．
∴f（x）的極小值為$f（\frac{1}{{\sqrt{2}}}）=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}ln2$，無極大值；
（Ⅱ）g（x）=f（x）-x²=ax-lnx的定義域為（0，e]，
$g'（x）=a-\frac{1}{x}=\frac{ax-1}{x}（0＜x≤e）$的正負號等價于h（x）=ax-1（0＜x≤e）的正負號．
 當a≠0時，g'（x）=0與h（x）=0的根相同為${x_0}=\frac{1}{a}$，
①當a＜0時，${x_0}=\frac{1}{a}＜0$，h（x）＜0⇒g'（x）＜0⇒g（x）在（0，e]上遞減，
∴$g{（x）_{min}}=g（e）=ae-1=3⇒a=\frac{4}{e}$⇒a∈∅；
②當a=0時，$g'（x）=-\frac{1}{x}＜0$⇒g（x）在（0，e]上遞減，
∴$g{（x）_{min}}=g（e）=ae-1=3⇒a=\frac{4}{e}$⇒a∈∅；
③當$0＜a≤\frac{1}{e}$時，$e＜{x_0}=\frac{1}{a}$，h（x）≤0⇒g'（x）≤0⇒g（x）在（0，e]上遞減，
∴$g{（x）_{min}}=g（e）=ae-1=3⇒a=\frac{4}{e}$⇒a∈∅；
④當$\frac{1}{e}$＜a時，$0＜{x_0}=\frac{1}{a}＜e$，列表如下：

x	（0，x0）	x0	（x0，+∞）
f'（x）	-	0	+
f（x）	↘	極小值	↗

由上表可得：$g{（x）_{min}}=g（{x_0}）=1+lna=3⇒a={e^2}$$＞\frac{1}{e}$⇒a=e²符合題意；
綜上可得：a=e²．

點評 本小題主要考查直線的斜率、導數的幾何意義、利用導數研究曲線上某點切線方程，考查導函數的正負與原函數的單調性之間的關系，即當導函數大于0時原函數單調遞增，當導函數小于0時原函數單調遞減，是中檔題