Question

8．已知中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)F₁、F₂在x軸上的雙曲線經(jīng)過點(diǎn)P（4，2），△PF₁F₂的內(nèi)切圓與x軸相切于點(diǎn)Q（2$\sqrt{2}$，0），則雙曲線的實(shí)軸長為（　�。�

• A． 2
• B． 2$\sqrt{2}$
• C． 4
• D． 4$\sqrt{2}$

Answer 1

分析 根據(jù)三角形內(nèi)切圓的性質(zhì)結(jié)合雙曲線的定義，求出2a，即可得到結(jié)論．

解答 解：中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)F₁、F₂在x軸上的雙曲線為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1，
作出對應(yīng)的圖象如圖：設(shè)三個切點(diǎn)分別為A，B，C，
∵△PF₁F₂的內(nèi)切圓與x軸相切于點(diǎn)Q（2$\sqrt{2}$，0），
∴|F₁Q|=|F₁C|=c+2$\sqrt{2}$，∴|F₂Q|=|F₂B|=c-2$\sqrt{2}$，
∴由雙曲線的定義得||F₁P|-|F₂P|=|F₁C|-|F₂B|=c+2$\sqrt{2}$-（c-2$\sqrt{2}$）=4$\sqrt{2}$=2a，
故選：D．

點(diǎn)評 本題主要考查雙曲線的實(shí)軸長的計算，根據(jù)三角形內(nèi)切圓的性質(zhì)求出2a是解決本題的關(guān)鍵．注意利用數(shù)形結(jié)合進(jìn)行求解．