Question

7．已知函數(shù)f（x）=x³+2ax²+1在x=1處的切線的斜率為1，則實(shí)數(shù)a=$-\frac{1}{2}$，此時函數(shù)y=f（x）在[0，1]最小值為$\frac{23}{27}$．

Answer 1

分析 求導(dǎo)數(shù)，利用函數(shù)f（x）=x³+2ax²+1在x=1處的切線的斜率為1，求出a的值，確定函數(shù)的單調(diào)性，即可求出函數(shù)y=f（x）在[0，1]最小值．

解答 解：由f（x）=x³+2ax²+1，得到f′（x）=3x²+4ax，
因?yàn)楹瘮?shù)f（x）=x³+2ax²+1在x=1處的切線的斜率為1，
所以f′（1）=1，即3+4a=1，解得a=$-\frac{1}{2}$．
f′（x）=3x²-2x，x∈（0，$\frac{2}{3}$），f′（x）＜0，函數(shù)單調(diào)遞減，x∈（$\frac{2}{3}$，1），f′（x）＞0，函數(shù)單調(diào)遞增，
∴函數(shù)y=f（x）在[0，1]最小值為f（$\frac{2}{3}$）=$\frac{23}{27}$．
故答案為$-\frac{1}{2}$，$\frac{23}{27}$．

點(diǎn)評 本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程，考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查函數(shù)的最小值，是個基礎(chǔ)題．