Question

給出下列命題：
①非零

a

，

b

滿足|

a

|=|

b

|=|

a

-

b

|，則

a

與

a

+

b

的夾角為30°；
②

a

•

b

＞0，是

a

，

b

的夾角為銳角的充要條件；
③命題“若m²+n²=0，則m=0且n=0”的否命題是“若m²+n²≠0則m≠0或n≠0”；
④若（

AB

+

AC

）•（

AB

-

AC

）=0，則△ABC為等腰三角形；
以上命題正確的是

 

（注：把你認(rèn)為正確的命題的序號(hào)都填上）

Answer 1

考點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算

專題：平面向量及應(yīng)用

分析：根據(jù)向量加減法的平行四邊形法則及菱形的性質(zhì)可判斷①，根據(jù)向量數(shù)量積的定義，及充要條件的定義，可判斷②；根據(jù)否命題的定義，可判斷③；根據(jù)向量數(shù)量積運(yùn)算法則及向量模的定義，可判斷④．

解答： 解：①非零向量

a

，

b

滿足|

a

|=|

b

|=|

a

-

b

|，則以

a

，

b

為鄰邊的平行四邊形為菱形，且

a

，

b

的夾角為60°，根據(jù)菱形的對(duì)角線平分對(duì)角，可得

a

與

a

+

b

的夾角為30°，故①正確；
②

a

•

b

＞0，

a

、

b

的夾角為銳角或0，故

a

•

b

＞0，是

a

、

b

的夾角為銳角的必要不充分條件，故②錯(cuò)誤；
③命題“若m²+n²=0，則m=0且n=0”的否命題是“若m²+n²≠0，則m≠0或n≠0”，故③正確；
④若（

AB

+

AC

）•（

AB

-

AC

）=0，即

AB

2-

AC

2=0，∴|

AB

|=|

AC

|，即AB=AC，則△ABC為等腰三角形，故④正確．
故答案為：①③④．

點(diǎn)評(píng)：本題以命題的真假判斷為載體考查了向量加減法的平行四邊形法則及菱形的性質(zhì)，向量數(shù)量積的定義，充要條件的定義，否命題的定義，向量數(shù)量積運(yùn)算法則及向量模的定義，是向量與邏輯的綜合應(yīng)用，難度中檔．