Question

14．如圖所示，PA為圓O的切線，A為切點(diǎn)，PO交圓O于B，C兩點(diǎn)，PA=2，PB=1，∠BAC的角平分線與BC和圓O分別交于點(diǎn)D和E．
（Ⅰ）求證：AB•PC=PA•AC；
（Ⅱ）求AD•AE的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知條件推導(dǎo)出△PAB∽△PCA，由此能夠證明AB•PC=PA•AC．
（Ⅱ）由切割線定理求出PC=4，BC=3，由已知條件條件推導(dǎo)出△ACE∽△ADB，由此能求出AD•AE的值．

解答 （Ⅰ）證明：∵PA為圓O的切線，
∴∠PAB=∠ACP，
又∠P為公共角
∴△PAB∽△PCA，
∴$\frac{AB}{AC}=\frac{PA}{PC}$，
∴AB•PC=PA•AC．…（4分）
（Ⅱ）解：∵PA為圓O的切線，BC是過(guò)點(diǎn)O的割線，
∴PA²=PB•PC，
∴PC=4，BC=3，
又∵∠CAB=90°，∴AC²+AB²=BC²=9，
又由（Ⅰ）知$\frac{AB}{AC}=\frac{PA}{PC}$=$\frac{1}{2}$，
∴AC=$\frac{6}{\sqrt{5}}$，AB=$\frac{3}{\sqrt{5}}$，
連接EC，則∠CAE=∠EAB，∠AEC=∠ABD
∴△ACE∽△ADB，∴$\frac{AB}{AE}=\frac{AD}{AC}$，
∴AD•AE=AB•AC=$\frac{18}{5}$．（10分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查三角形相似的證明和應(yīng)用，考查線段乘積的求法，是中檔題，解題時(shí)要注意切割線定理的合理運(yùn)用．