Question

3．若函數(shù)f （x）=e^x+4^x-kx在區(qū)間（$\frac{1}{2}$，+∞）上是增函數(shù)，則實數(shù)k的最大值是（　�。�

• A． 2+e
• B． 2+$\sqrt{e}$
• C． 4+e
• D． 4ln2+$\sqrt{e}$

Answer 1

分析 求出f（x）的導數(shù)，由題意可得f′（x）≥0在區(qū)間（$\frac{1}{2}$，+∞）上恒成立，即有k≤e^x+4^xln4在區(qū)間（$\frac{1}{2}$，+∞）上恒成立．令g（x）=e^x+4^xln4，運用單調(diào)性，即可得到k的范圍，進而得到k的最大值．

解答 解：函數(shù)f（x）=e^x+4^x-kx的導數(shù)為f′（x）=e^x+4^xln4-k，
由題意可得f′（x）≥0在區(qū)間（$\frac{1}{2}$，+∞）上恒成立，
即有k≤e^x+4^xln4在區(qū)間（$\frac{1}{2}$，+∞）上恒成立．
令g（x）=e^x+4^xln4，則g（x）為（$\frac{1}{2}$，+∞）的增函數(shù)，
即有g(shù)（x）＞$\sqrt{e}$+2ln4=4ln2+$\sqrt{e}$．
則k≤4ln2+$\sqrt{e}$．
故k的最大值為4ln2+$\sqrt{e}$．
故選D．

點評 本題考查導數(shù)的運用：判斷單調(diào)性和求最值，考查不等式的恒成立問題，注意運用參數(shù)分離和指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，屬于中檔題．