Question

19．商場(chǎng)決定對(duì)某電器商品采用“提價(jià)抽獎(jiǎng)”方式進(jìn)行促銷，即將該商品的售價(jià)提高100元，但是購買此商品的顧客可以抽獎(jiǎng)．規(guī)定購買該商品的顧客有3次抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì)：若中一次獎(jiǎng)，則獲得數(shù)額為m元的獎(jiǎng)金；若中兩次獎(jiǎng)，則共獲得數(shù)額為3m元的獎(jiǎng)金；若中3次獎(jiǎng)，則獲得數(shù)額為6m的獎(jiǎng)金．假設(shè)顧客每次中獎(jiǎng)的概率都是$\frac{1}{3}$．設(shè)顧客三次抽獎(jiǎng)后所獲得的獎(jiǎng)金總額為隨機(jī)變量ξ．
（Ⅰ）求ξ的分布列；
（Ⅱ）若要使促銷方案對(duì)商場(chǎng)有利，試問商場(chǎng)最高能將獎(jiǎng)金數(shù)額m定位多少元？

Answer 1

分析 （Ⅰ）隨機(jī)變量ξ的所有可能的取值為0，m，3m，6m，求出相應(yīng)的概率，可得ξ的分布列；
（Ⅱ）欲求m的值，需要先求獎(jiǎng)金總額的期望值，要使促銷方案對(duì)商場(chǎng)有利，應(yīng)使顧客獲獎(jiǎng)獎(jiǎng)金總額的期望值不大于商場(chǎng)的提價(jià)數(shù)額即可．

解答 解：（Ⅰ）隨機(jī)變量ξ的所有可能的取值為0，m，3m，6m．（單元：元）
ξ=0表示顧客在三次抽獎(jiǎng)都沒有獲獎(jiǎng)，所以P（ξ=0）=$（1-\frac{1}{3}）^{3}$=$\frac{8}{27}$
同理，P（ξ=m）=${C}_{3}^{1}•\frac{1}{3}•（\frac{2}{3}）^{2}$=$\frac{12}{27}$，P（ξ=3m）=${C}_{3}^{2}•（\frac{1}{3}）^{2}•\frac{2}{3}$=$\frac{6}{27}$，P（ξ=6m）=$（\frac{1}{3}）^{3}$=$\frac{1}{27}$，
∴ξ的分布列是

ξ	0	m	3m	6m
P	$\frac{8}{27}$	$\frac{12}{27}$	$\frac{6}{27}$	$\frac{1}{27}$

（Ⅱ）由顧客在三次抽獎(jiǎng)中所獲得的獎(jiǎng)金總額的期望值Eξ=0×$\frac{8}{27}$+m×$\frac{12}{27}$+3m×$\frac{6}{27}$+6m×$\frac{1}{27}$＜100，解得m＜75．
故m最高定為75元，才能使促銷方案對(duì)商場(chǎng)有利．

點(diǎn)評(píng) 本題考查離散型隨機(jī)變量的期望，考查學(xué)生的計(jì)算能力．屬于中檔題．