Question

4．過橢圓$\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}$=1上一點(diǎn)P作圓（x-3）²+y²=1的兩條切線，切點(diǎn)分別為A、B，則∠APB的最大值為（　�。�

• A． 30°
• B． 60°
• C． 90°
• D． 120°

Answer 1

分析 畫出圖形，利用圓與橢圓的對(duì)稱性，找出P的位置求解即可．

解答 解：如圖：因?yàn)闄E圓$\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}$=1與圓（x-3）²+y²=1的對(duì)稱軸是x軸，并且圓的圓心坐標(biāo)（3，0）為橢圓的右焦點(diǎn)，
所以過橢圓$\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}$=1上一點(diǎn)P作圓（x-3）²+y²=1的兩條切線，切點(diǎn)分別為A、B，
則∠APB的最大值就是橢圓上的點(diǎn)到圓的圓心的距離最小值時(shí)的點(diǎn)，為右端點(diǎn)P，
圓的半徑為1，AC=1，PC=2，AC⊥AP，∴∠APB=2∠APC=60°．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓與圓的綜合應(yīng)用，直線與圓的位置關(guān)系，考查數(shù)形結(jié)合以及橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用．