Question

如圖，橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)經(jīng)過點（0，1），離心率e=

3

2

．
（l）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)直線x=my+1與橢圓C交于A，B兩點，點A關(guān)于x軸的對稱點為A′（A′與B不重合），則直線A′B與x軸是否交于一個定點？若是，請寫出定點坐標，并證明你的結(jié)論；若不是，請說明理由．

Answer 1

（1）依題意可得

b=1 c a = 3 2 a2=b2+c2

，解得a=2，b=1．
所以，橢圓C的方程是

x2

4

+y2=1；
（2）由

x2 4 +y2=1 x=my+1

得（my+1）²+4y²=4，即（m²+4）y²+2my-3=0，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
則A′（x₁，-y₁）．
且y1+y2=-

2m

m2+4

，y1y2=-

3

m2+4

．
經(jīng)過點A′（x₁，-y₁），
B（x₂，y₂）的直線方程為

y+y1

y2+y1

=

x-x1

x2-x1

．
令y=0，則x=

x2-x1

y2+y1

y1+x1=

(x2-x1)y1+x1(y1+y2)

y1+y2

=

x2y1+x1y2

y1+y2

又∵x₁=my₁+1，x₂=my₂+1．∴當y=0時，x=

(my2+1)y1+(my1+1)y2

y1+y2

=

2my1y2+(y1+y2)

y1+y2

=

- 6m m2+4 - 2m m2+4

- 2m m2+4

=4
這說明，直線A′B與x軸交于定點（4，0）．