Question

已知函數(shù)f（x）=

ax2-lnx+b

x

，且f（1）=0，f′（1）=1．
（Ⅰ）求常數(shù)a，b的值；
（Ⅱ）若1≤λ≤2

2

，證明：函數(shù)g（x）=f（x）-λlnx（0＜x≤1）的值恒非負．

Answer 1

考點：導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（I）f′(x)=

ax2-1+lnx-b

x2

．由于f（1）=0，f′（1）=1，可得

a+b=0 a-1-b=1

，解得即可．
（II）g（x）=f（x）-λlnx=

x2-lnx-1

x

-λlnx（0＜x≤1）．g′（x）=

x2-λx+lnx

x2

．令h（x）=x²-λx+lnx（0＜x≤1）．利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)h（x）為單調(diào)遞增函數(shù)，
g（x）為單調(diào)遞減函數(shù)即可．

解答： （I）解：f′(x)=

ax2-1+lnx-b

x2

．
∵f（1）=0，f′（1）=1，
∴

a+b=0 a-1-b=1

，解得

a=1 b=-1

．
（II）證明：g（x）=f（x）-λlnx=

x2-lnx-1

x

-λlnx（0＜x≤1）．
∴g′（x）=

x2-λx+lnx

x2

．
令h（x）=x²-λx+lnx（0＜x≤1）．h′（x）=2x-λ+

1

x

．
由于

1

x

+2x≥2

2

，當且僅當x=

2

2

時取等號．
∴λ≤2

2

時，h′（x）≥0，此時函數(shù)h（x）是增函數(shù)．
因此h（x）≤h（1）=1-λ，
由于1≤λ≤2

2

，0＜x≤1，h（x）≤h（1）=1-λ≤0，g′（x）≤0，
故1≤λ≤2

2

，g（x）（0＜x≤1）是減函數(shù)，
∴g（x）≥g（1）=0，即1≤λ≤2

2

時，g（x）的值恒非負．

點評：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值，考查了分析問題與解決問題的能力，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．