Question

13．已知數(shù)列{a_n}，S_n為其前n項的和，滿足S_n=$\frac{n（n+1）}{2}$．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）設數(shù)列{$\frac{1}{a_n}$}的前n項和為T_n，數(shù)列{T_n}的前n項和為R_n，求證：當n≥2，n∈N^*時R_n-1=n（T_n-1）；
（3）已知當n∈N*，且n≥6時有（1-$\frac{m}{n+3}$）ⁿ＜（$\frac{1}{2}$）^m，其中m=1，2，…，n，求滿足3ⁿ+4ⁿ+…+（n+2）ⁿ=（a_n+3）^a_n的所有n的值．

Answer 1

分析 （1）利用遞推關系即可得出；
（2）法一：直接計算化簡即可證明；
法二：利用數(shù)學歸納法即可證明．
（3）利用“累加求和”方法、不等式的性質(zhì)、分類討論即可得出．

解答 （1）解：當n≥2時，${a_n}={S_n}-{S_{n-1}}=\frac{n（n+1）}{2}-\frac{（n-1）n}{2}=n$，
又∵a₁=S₁=1，∴a_n=n．
（2）證明：＜法一＞：∵$\frac{1}{a_n}=\frac{1}{n}$，∴${T_n}=1+\frac{1}{2}+…+\frac{1}{n}$，
∴${R_{n-1}}=1+（1+\frac{1}{2}）+（1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}）+…+（1+\frac{1}{2}+…+\frac{1}{n-1}）$=$（n-1）•1+（n-2）•\frac{1}{2}+（n-3）•\frac{1}{3}+…+1•\frac{1}{n-1}$
=$n（1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+…+\frac{1}{n-1}-1+\frac{1}{n}）=n（1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+…+\frac{1}{n-1}+\frac{1}{n}-1）=n（{T_n}-1）（n≥2）$．
＜法二＞：數(shù)學歸納法
①n=2時，${R_1}={T_1}=\frac{1}{a_1}=1$，$2（{T_2}-1）=2（\frac{1}{{a_1^{\;}}}+\frac{1}{a_2}-1）=1$，
②假設n=k（k≥2，k∈N*）時有R_k-1=k（T_k-1），
當n=k+1時，${R_k}={R_{k-1}}+{T_k}=k（T_k^{\;}-1）+{T_k}=（k+1）{T_k}-k=（k+1）（{T_{k+1}}-\frac{1}{{{a_{k+1}}}}）-k$=$（k+1）（{T_{k+1}}-1+1-\frac{1}{k+1}）-k=（k+1）（{T_{k+1}}-1）$，
∴n=k+1是原式成立
由①②可知當n≥2，n∈N*時R_n-1=n（T_n-1）．
（3）解：∵${（1-\frac{m}{n+3}）^n}＜{（\frac{1}{2}）^m}$，m=1，2，…，n．
$\left.{\begin{array}{l}{m=1時，（\frac{n+2}{n+3}{）^n}＜\frac{1}{2}}\\{m=2時，（\frac{n+1}{n+3}{）^n}＜{{（\frac{1}{2}）}^2}}\\{m=3時，（\frac{n}{n+3}{）^n}＜{{（\frac{1}{2}）}^3}}\\…\\{m=n-1時，（\frac{4}{n+3}{）^n}＜{{（\frac{1}{2}）}^{n-1}}}\\{m=n時，（\frac{3}{n+3}{）^n}＜{{（\frac{1}{2}）}^n}}\end{array}}\right\}$⇒相加得，${（\frac{n+2}{n+3}）^n}+{（\frac{n+1}{n+3}）^n}+…+{（\frac{4}{n+3}）^n}+{（\frac{3}{n+3}）^n}＜\frac{1}{2}+{（\frac{1}{2}）^2}+{（\frac{1}{2}）^3}+…+{（\frac{1}{2}）^{n-1}}+{（\frac{1}{2}）^n}$，
∵$\frac{1}{2}+{（\frac{1}{2}）^2}+{（\frac{1}{2}）^3}+…+{（\frac{1}{2}）^{n-1}}+{（\frac{1}{2}）^n}=1-{（\frac{1}{2}）^n}＜1$，
∴3ⁿ+4ⁿ+…+（n+2）ⁿ＜（n+3）ⁿ，
∴n≥6時，∴3ⁿ+4ⁿ+…+（n+2）ⁿ=（n+3）ⁿ無解，
又當n=1時；3＜4，n=2時，3²+4²=5²；n=3時，3³+4³+5³=6³n=4時，3⁴+4⁴+5⁴+6⁴為偶數(shù)，而7⁴為奇數(shù)，不符合n=5時，3⁵+4⁵+5⁵+6⁵+7⁵為奇數(shù)，而8⁵為偶數(shù)，不符合．
綜上所述n=2或者n=3．

點評 本題考查了遞推關系、學歸納法、“累加求和”方法、不等式的性質(zhì)、分類討論方法，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．