【題目】如圖是某神奇“黃金數(shù)學草”的生長圖.第1階段生長為豎直向上長為1米的枝干,第2階段在枝頭生長出兩根新的枝干,新枝干的長度是原來的,且與舊枝成120°,第3階段又在每個枝頭各長出兩根新的枝干,新枝干的長度是原來的,且與舊枝成120°,……,依次生長,直到永遠.
(1)求第3階段“黃金數(shù)學草”的高度;
(2)求第13階段“黃金數(shù)學草”的高度;
【答案】(1)
(2)
【解析】
(1)根據(jù)示意圖,計算出第階段、第階段生長的高度,即可求解出第階段“黃金數(shù)學草”的高度;
(2)考慮第偶數(shù)階段、第奇數(shù)階段“黃金數(shù)學草”高度的生長量之間的關系,構造數(shù)列,利用數(shù)列求和完成第階段“黃金數(shù)學草”的高度的計算.
(1)因為第一階段: ,
所以第階段生長:,第階段的生長:,
所以第階段“黃金數(shù)學草”的高度為:;
(2)設第個階段生長的“黃金數(shù)學草”的高度為,則第個階段生長的“黃金數(shù)學草”的高度為,第階段“黃金數(shù)學草”的高度為,
所以,
所以數(shù)列按奇偶性分別成公比為等比數(shù)列,
所以
.
所以第階段“黃金數(shù)學草”的高度為:.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),其中,且 .
(1)當( 為自然對數(shù)的底)時,討論的單調(diào)性;
(2)當 時,若函數(shù)存在最大值,求的最小值.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】在《周易》中,長橫“”表示陽爻,兩個短橫“”表示陰爻.有放回地取陽爻和陰爻三次合成一卦,共有種組合方法,這便是《系辭傳》所說“太極生兩儀,兩儀生四象,四象生八卦”.有放回地取陽爻和陰爻一次有2種不同的情況,有放回地取陽爻和陰爻兩次有四種情況,有放回地取陽爻和陰爻三次,八種情況.所謂的“算卦”,就是兩個八卦的疊合,即共有放回地取陽爻和陰爻六次,得到六爻,然后對應不同的解析.在一次所謂“算卦”中得到六爻,這六爻恰好有三個陽爻三個陰爻的概率是( )
A. B. C. D.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】根據(jù)統(tǒng)計,某蔬菜基地西紅柿畝產(chǎn)量的增加量(百千克)與某種液體肥料每畝使用量(千克)之間的對應數(shù)據(jù)的散點圖,如圖所示.
(1)依據(jù)數(shù)據(jù)的散點圖可以看出,可用線性回歸模型擬合與的關系,請計算相關系數(shù)并加以說明(若,則線性相關程度很高,可用線性回歸模型擬合);
(2)求關于的回歸方程,并預測液體肥料每畝使用量為12千克時,西紅柿畝產(chǎn)量的增加量約為多少?
附:相關系數(shù)公式,參考數(shù)據(jù):,.
回歸方程中斜率和截距的最小二乘估計公式分別為:,
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】(本題16分)某鄉(xiāng)鎮(zhèn)為了進行美麗鄉(xiāng)村建設,規(guī)劃在長為10千米的河流OC的一側建一條觀光帶,觀光帶的前一部分為曲線段OAB,設曲線段OAB為函數(shù),(單位:千米)的圖象,且曲線段的頂點為;觀光帶的后一部分為線段BC,如圖所示.
(1)求曲線段OABC對應的函數(shù)的解析式;
(2)若計劃在河流OC和觀光帶OABC之間新建一個如圖所示的矩形綠化帶MNPQ,綠化帶由線段MQ,QP, PN構成,其中點P在線段BC上.當OM長為多少時,綠化帶的總長度最長?
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某兒童樂園在“六一”兒童節(jié)推出了一項趣味活動.參加活動的兒童需轉動如圖所示的轉盤兩次,每次轉動后,待轉盤停止轉動時,記錄指針所指區(qū)域中的數(shù).設兩次記錄的數(shù)分別為x,y.獎勵規(guī)則如下:
①若,則獎勵玩具一個;
②若,則獎勵水杯一個;
③其余情況獎勵飲料一瓶.
假設轉盤質地均勻,四個區(qū)域劃分均勻.小亮準備參加此項活動.
(Ⅰ)求小亮獲得玩具的概率;
(Ⅱ)請比較小亮獲得水杯與獲得飲料的概率的大小,并說明理由.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD為正方形,平面PAD⊥平面ABCD,點M在線段PPD//平面MAC,PA=PD=,AB=4.
(I)求證:M為PB的中點;
(II)求二面角B-PD-A的大。
(III)求直線MC與平面BDP所成角的正弦值.
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