Question

如圖，四棱錐P-ABCD的底面ABCD為菱形，PD⊥平面ABCD，PD=AB=2，∠BAD=60°，E、F分別為BC、PA的中點．
（Ⅰ）求證：平面DEF⊥平面PAD；
（Ⅱ）求平面PDE與平面PAB所成二面角的正弦值．

Answer 1

考點：與二面角有關的立體幾何綜合題,平面與平面垂直的判定

專題：空間位置關系與距離,空間角

分析：（Ⅰ）由等邊三角形性質得DE⊥BC，由平行線性質得DE⊥AD，由線面垂直得PD⊥DE，由此能證明平面DEF⊥平面PAD．
（II）建立空間直角坐標系Dxyz，利用向量法能求出平面PDE與平面PAB所成二面角的正弦值．

解答： （Ⅰ）證明：連接BD，依題BD=2，
在正三角形BDC中，∵BE=EC，∴DE⊥BC，
又AD∥BC，∴DE⊥AD．…（2分）
又PD⊥平面ABCD，∴PD⊥DE，AD∩PD=D，
∴DE⊥平面PAD，又DE?平面DEF，
∴平面DEF⊥平面PAD．…（4分）
（II）解：結合（Ⅰ），建立如圖所示的空間直角坐標系Dxyz，
平面PDE的一個法向量為

n1

=(1，0，0)，…（6分）
同時A（2，0，0），B（1，

3

，0），P（0，0，2），
則

PA

=（2，0，-2），

PB

=（1，

3

，-2），
設平面PAB的法向量

n2

=(x，y，z)，
則

n2 • PA =0 n2 • PB =0

，于是

2x-2z=0 x+ 3 y-2z=0

，即

x=z y= 1 3 z

，
取z=

3

得

n2

=(

3

，1，

3

)，…（9分）
∴cos＜

n1

，

n2

＞=

n1 • n2

| n1 |•| n2 |

=

3

1• 7

，…（11分）
從而平面PDE與平面PAB所成二面角的正弦值

2 7

7

．…（12分）

點評：本題考查平面與平面垂直的證明，考查二面角的余弦值的求法，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．