Question

如圖，AA₁、BB₁為圓柱OO₁的母線，BC是底面圓O的直徑，D、E分別是AA₁、CB₁的中點，AB=AC．
（Ⅰ）證明：DE∥平面ABC；
（Ⅱ）證明：平面B₁DC⊥平面CBB₁．

Answer 1

考點：平面與平面垂直的判定,直線與平面平行的判定

專題：證明題,空間位置關系與距離

分析：（I）連接EO、OA，利用線面平行的判定定理證明：DE∥平面ABC；
（Ⅱ）證明AO⊥平面BB₁C，利用DE∥AO，可得DE⊥平面BB₁C，從而證明平面B₁DC⊥平面CBB₁．

解答： 證明：（Ⅰ）如圖，連接EO、OA．
∵E、O分別為CB₁、BC的中點，∴EO是△BB₁C的中位線，
∴EO∥BB₁且EO=

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2

BB1．
又DA∥BB₁，AA₁=BB₁，故DA=

1

2

BB1=EO，
∴DA∥EO且DA=EO，
∴四邊形AOED是平行四邊形，即DE∥OA，
又DE?平面ABC，OA?平面ABC，
∴DE∥平面ABC．…（6分）
（Ⅱ）∵AB=AC，BC為直徑，∴AO⊥BC，
又BB₁為圓柱OO₁的母線，BB₁⊥AO，
從而AO⊥平面BB₁C，
∵DE∥AO，∴DE⊥平面BB₁C，
∵DE?平面B₁DC，
∴平面B₁DC⊥平面BB₁C…（12分）

點評：本題主要考查空間直線與平面平行、垂直的判定定理，考查平面與平面垂直，正確運用判定定理是關鍵．