Question

如圖四棱錐P-ABCD的底面ABCD為菱形，∠BAD=60°，Q為AD的中點．
（1）若PA=PD，求證：平面PQB⊥平面PAD；
（2）若PA=PD=AD，且平面PAD⊥平面ABCD，點M是線段PC的中點，求平面MBQ與平面ABCD所成角的余弦值．

Answer 1

考點：平面與平面垂直的判定,與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）由已知條件得PQ⊥AD，BQ⊥AD，從而得到AD⊥平面PQB，由此能證明平面PQB⊥平面PAD．
（2）以Q為原點，分別以QA、QB、QP為x，y，z軸，建立空間直角坐標系O-xyz，利用向量法能求出平面MBQ與平面ABCD所成角的余弦值．

解答： （1）證明：∵四棱錐P-ABCD的底面ABCD為菱形，∠BAD=60°，Q為AD的中點，
∴PQ⊥AD，BQ⊥AD，又PQ∩BQ=Q，
∴AD⊥平面PQB，
又∵AD?平面PAD，∴平面PQB⊥平面PAD．
（2）解：∵PA=BD，Q為AD中點，∴PQ⊥AD，
∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，
∴PQ⊥平面ABCD，
以Q為原點，分別以QA、QB、QP為x，y，z軸，
建立如圖所示的空間直角坐標系O-xyz，設(shè)AB=2，
則Q（0，0，0），A（1，0，0），P（0，0，

3

），
B（0，

3

，0），C（-2，

3

，0），

OM

=(-1，

3

2

，

3

2

)，

QB

=(0，

3

，0)，
設(shè)

n

=(x，y，z)是平面MBQ的法向量，
則

QM • n =-x+ 3 2 y+ 3 2 z=0 QB • n = 3 x=0

，
取z=1，得

n

=(

3

2

，0，1)，
又

m

=(0，0，1)是平面BQC的一個法向量，
∴cos＜

n

，

m

＞=

1

1× 7 4

=

2 7

7

，
∴平面MBQ與平面ABCD所成角的余弦值為

2 7

7

．

點評：本題考查平面與平面垂直的證明，考查二面角的余弦值的求法，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．