Question

8．已知{a_n}是各項(xiàng)項(xiàng)都為正數(shù)的數(shù)列，其前n項(xiàng)和為S_n，且滿足2a_nS_n-a_n²=1
（Ⅰ）證明{S_n²}是等差數(shù)列，并求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）求數(shù)列{S_n²x^n-1}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）把a(bǔ)_n=S_n-S_n-1（n≥2）代入2a_nS_n-a_n²=1，整理后即可證明{S_n²}是等差數(shù)列，求其通項(xiàng)公式后再由a_n=S_n-S_n-1（n≥2）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）把S_n²=n代入S_n²x^n-1，對(duì)x分類后借助于等比數(shù)列的前n項(xiàng)和求得數(shù)列{S_n²x^n-1}的前n項(xiàng)和T_n．

解答 （Ⅰ）證明：∵2a_nS_n-a_n²=1，
∴當(dāng)n≥2時(shí)，2（S_n-S_n-1）S_n-$（{S}_{n}-{S}_{n-1}）^{2}=1$，
整理得，${{S}_{n}}^{2}-{{S}_{n-1}}^{2}=1$（n≥2），
又${{S}_{1}}^{2}$=1，
∴數(shù)列{S_n²}為首項(xiàng)和公差都是1的等差數(shù)列．
∴${{S}_{n}}^{2}=n$，
又S_n＞0，∴S_n=$\sqrt{n}$．
∴n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=$\sqrt{n}-\sqrt{n-1}$，又a₁=S₁=1適合此式．
∴數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式為a_n=$\sqrt{n}-\sqrt{n-1}$；
（Ⅱ）解：S_n²x^n-1=n•x^n-1．
當(dāng)x=0時(shí)，T_n=0；
當(dāng)x=1時(shí)，T_n=1+2+…+n=$\frac{n（n+1）}{2}$；
當(dāng)x≠0且x≠1時(shí)，
T_n=1•x⁰+2•x¹+3•x²+…+n•x^n-1．
$x{T}_{n}=1•{x}^{1}+2•{x}^{2}+3•{x}^{3}+…+（n-1）{x}^{n-1}+n{x}^{n}$．
兩式作差得：$（1-x）{T}_{n}=1+x+{x}^{2}+…+{x}^{n-1}-n{x}^{n}$=$\frac{1-{x}^{n}}{1-x}-n{x}^{n}$．
∴${T}_{n}=\frac{1-{x}^{n}}{（1-x）^{2}}-\frac{n{x}^{n}}{1-x}$．
綜上，當(dāng)x=0時(shí)，T_n=0；
當(dāng)x=1時(shí)，T_n=$\frac{n（n+1）}{2}$；
當(dāng)x≠0且x≠1時(shí)，${T}_{n}=\frac{1-{x}^{n}}{（1-x）^{2}}-\frac{n{x}^{n}}{1-x}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列遞推式，考查了等差關(guān)系的確定，訓(xùn)練了等比數(shù)列前n項(xiàng)和的求法，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想方法，是中檔題．