Question

已知函數(shù)f（x）=（x-e）（lnx-1）（e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）．
（Ⅰ）求曲線y=f（x）在x=1處的切線方程；
（Ⅱ）若m是f（x）的一個(gè)極值點(diǎn)，且點(diǎn)A（x₁，f（x₁）），B（x₂，f（x₂））滿足條件：ln（x₁•x₂）=lnx₁•lnx₂+2．
（�。┣髆的值；
（ⅱ）求證：點(diǎn)A，B，P（m，f（m））是三個(gè)不同的點(diǎn)，且構(gòu)成直角三角形．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值,利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（I）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線的斜率，即可得出切線方程；
（II）（i）對(duì)于f′(x)=lnx-

e

x

，定義域?yàn)椋?，+∞）．分類討論：當(dāng)0＜x＜e時(shí)，當(dāng)x=e時(shí)，當(dāng)x＞e時(shí)，函數(shù)f（x）的單調(diào)性即可得出極值點(diǎn)．
（ii）若x₁=e，與條件lnx₁•x₂=lnx₁•lnx₂+2不符，從而得x₁≠e．同理可得x₂≠e． 若x₁=x₂，由lnx₁•x₂=lnx₁•lnx₂+2⇒(lnx1)2-2lnx1+2=0，此方程無實(shí)數(shù)解，從而得x₁≠x₂． 由上可得點(diǎn)A，B，P兩兩不重合．再證明

PA

•

PB

=0即可．

解答： 解：（Ⅰ）f′(x)=lnx-

e

x

，
f'（1）=-e，又f（1）=e-1，
∴曲線y=f（x）在x=1處的切線方程為y-（e-1）=-e（x-1），
即ex+y-2e+1=0．                                    
（Ⅱ）（�。�對(duì)于f′(x)=lnx-

e

x

，定義域?yàn)椋?，+∞）．
當(dāng)0＜x＜e時(shí)，lnx＜1，-

e

x

＜-1，∴f′(x)=lnx-

e

x

＜0；
當(dāng)x=e時(shí)，f'（x）=1-1=0；
當(dāng)x＞e時(shí)，lnx＞1，-

e

x

＞-1，∴f′(x)=lnx-

e

x

＞0，
∴f（x）存在唯一的極值點(diǎn)e，
∴m=e，則點(diǎn)P為（e，0）．
（ⅱ）若x₁=e，則lnx₁x₂=lnx₂+1，lnx₁•lnx₂+2=lnx₂+2，
與條件lnx₁•x₂=lnx₁•lnx₂+2不符，從而得x₁≠e．
同理可得x₂≠e．                    
若x₁=x₂，由lnx₁•x₂=lnx₁•lnx₂+2⇒(lnx1)2-2lnx1+2=0，此方程無實(shí)數(shù)解，
從而得x₁≠x₂．                 
由上可得點(diǎn)A，B，P兩兩不重合．
又

PA

•

PB

=(x1-e，f(x1))•(x2-e，f(x2))=（x₁-e）（x₂-e）+（x₁-e）（x₂-e）（lnx₁-1）（lnx₂-1）=（x₁-e）（x₂-e）（lnx₁lnx₂-lnx₁x₂+2）=0
從而PA⊥PB，點(diǎn)A，B，P可構(gòu)成直角三角形．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值、導(dǎo)數(shù)的幾何意義、切線的方程、向量垂直與數(shù)量積的關(guān)系，考查了推理能力和計(jì)算能力，屬于難題．