已知函數(shù)y=f（x）的定義域為R，且對任意a，b∈R，都有f（a+b）=f（a）+f（b），且當x＞0時，f（x）＜0恒成立．
（1）先判斷函數(shù)y=f（x）的單調(diào)性再給出證明；
（2）證明函數(shù)y=f（x）是奇函數(shù)．
考點：函數(shù)奇偶性的判斷,函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明
專題：函數(shù)的性質(zhì)及應用
分析：（1）根據(jù)抽象函數(shù)的表達式，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性的定義即可判斷函數(shù)y=f（x）的單調(diào)性；
（2）根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義即可證明函數(shù)y=f（x）是奇函數(shù)．
解答： 證明：（1）設x1＞x2，則x1-x2＞0，而f（a+b）=f（a）+f（b）
∴f（x1）-f（x2）=f（x1-x2+x2）-f（x2）=f（x1-x2）＜0
∴函數(shù)y=f（x）是R上的減函數(shù)；
（2）由f（a+b）=f（a）+f（b）得f（x-x）=f（x）+f（-x），
即f（x）+f（-x）=f（0），而f（0）=0．
∴f（-x）=-f（x），
即函數(shù)y=f（x）是奇函數(shù)．
點評：本題主要考查函數(shù)單調(diào)性和奇偶性的判斷和證明，利用抽象函數(shù)的對應關系以及定義法是解決本題的關鍵．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

證明：若函數(shù)y=f（x）滿足f（a+x）+f（a-x）=0，則函數(shù)y=f（x）的圖象關于點（a，0）對稱．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

某園藝師用兩種不同的方法培育了一批珍貴樹苗，在樹苗3個月大的時候，隨機抽 取甲、乙兩種方式培育的樹苗各20株，測量其髙度，得到的莖葉圖如圖（單位：cm）：

（Ⅰ）依莖葉圖判斷用哪種方法培育的樹苗的平均高度大？
（Ⅱ）現(xiàn)從用甲種方式培育的高度不低于80cm的樹苗中隨機抽取兩株，求高度為86cm的樹苗至少有1株被抽中的概率；
（Ⅲ）如果規(guī)定高度不低于85cm的為生長優(yōu)秀，請?zhí)顚懴旅娴?x2列聯(lián)表，并判斷“能否在犯錯誤的概率不超過0.025的前提下認為樹苗高度與培育方式有關？”
甲方式乙方式合計
優(yōu)秀
不優(yōu)秀
合計
下面臨界值表僅供參考：
P（K2≥k0）0.150.100.050.0250.0100.0050.001
k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828
（參考公式：K2=
n(ad-bc)2
(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)
，其中n=a+b+c+d）

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如果函數(shù)f（x）對給定區(qū)間l上任意兩個實數(shù)x1，x2都滿足不等式f（
x1+x2
2
）≤
f(x1)+f(x2)
2
，則稱函數(shù)f（x）在區(qū)間l上具有性質(zhì)M．
（1）寫出一個對數(shù)函數(shù)f（x），使得f（x）在（0，+∞）上具有性質(zhì)M；（不需說明理由）
（2）（i）求證：函數(shù)f（x）=x2在區(qū)間[0，+∞）上具有性質(zhì)M；
（ii）設x，y∈R*，且x 
3
2
+y 
3
2
=a（a為正常數(shù)），試求x3+y3的最小值；
（3）已知函數(shù)f（x）=
x2+2x，x≥-2
x+2，x＜-2
，若實數(shù)a使得f（x）在區(qū)間[a，5]（a＜5）上具有性質(zhì)M，試求實數(shù)a的取值范圍．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別是a，b，c，已知c=2，C=60°．
（Ⅰ）若△ABC的面積等于
3
，求a和b；
（Ⅱ）若sinC+sin（B-A）=2sin2A，求A；
（Ⅲ）若ab=
5
3
，求△ABC的周長．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知曲線C的極坐標方程是ρ=2sinθ，以極點O為坐標原點，極軸Ox為x軸建立直角坐標系，直線的參數(shù)方程是
x=-
3
5
t+2
y=
4
5
t
（為參數(shù)）．
（Ⅰ）將曲線C的極坐標方程化為直角坐標方程；
（Ⅱ）設直線與x軸的交點是M，N是曲線C上一動點，求|MN|的最大值．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=（x-e）（lnx-1）（e為自然對數(shù)的底數(shù)）．
（Ⅰ）求曲線y=f（x）在x=1處的切線方程；
（Ⅱ）若m是f（x）的一個極值點，且點A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2））滿足條件：ln（x1•x2）=lnx1•lnx2+2．
（ⅰ）求m的值；
（ⅱ）求證：點A，B，P（m，f（m））是三個不同的點，且構(gòu)成直角三角形．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

在空間四邊形ABDC中，M、N分別是AB、CD中點，設MN=a，線段AC=BD=2a，求異面直線AC和BD所成的角．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=b•ax，（其中a，b為常數(shù)且a＞0，a≠1）的圖象經(jīng)過點A（1，6），B（3，24），則f（x）的解析式
 
．

查看答案和解析>>

同步練習冊答案