Question

8．已知數(shù)列{a_n}中，a₁=a（實(shí)數(shù)a為常數(shù)），a₂=2，S_n是其前n項(xiàng)和，且S_n=$\frac{n（{a}_{n}-{a}_{1}）}{2}$．?dāng)?shù)列{b_n}是等比數(shù)列，b₁=2，a₄恰為S₄與b₂-1的等比中項(xiàng)．
（Ⅰ）證明：數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列；
（Ⅱ）求數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅲ）若c₁=$\frac{3}{2}$，當(dāng)n≥2時(shí)c_n=$\frac{1}{_{n-1}+1}$+$\frac{1}{_{n-1}+2}$+…+$\frac{1}{_{n}}$，{c_n}的前n項(xiàng)和為T_n，求證：對(duì)任意n≥2，都有12T_n≥6n+13．

Answer 1

分析 （Ⅰ）當(dāng)n=1可得a₁=a=0，進(jìn)而有S_n=$\frac{n{a}_{n}}{2}$，當(dāng)n≥2時(shí)利用累乘法可得a_n=$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$•$\frac{{a}_{n-1}}{{a}_{n-2}}$•…•$\frac{{a}_{3}}{{a}_{2}}$•a₂=2（n-1），即得結(jié)論；
（Ⅱ）設(shè)等比數(shù)列{b_n}的公比為q，則b_n=2q^n-1，利用a₄恰為S₄與b₂-1的等比中項(xiàng)可得公比q=2，進(jìn)而可得結(jié)論；
（Ⅲ）利用放縮法可得c_n＞$\frac{1}{2}$，進(jìn)而有T_n＞$\frac{6n+13}{12}$，即得結(jié)論．

解答 （Ⅰ）證明：令n=1可得a₁=S₁=0，即a=0．所以S_n=$\frac{n{a}_{n}}{2}$．
當(dāng)n≥2時(shí)a_n=S_n-S_n-1=$\frac{n{a}_{n}}{2}$-$\frac{（n-1）{a}_{n-1}}{2}$，可得（n-2）a_n=（n-1）a_n-1，
當(dāng)n≥3時(shí)$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$=$\frac{n-1}{n-2}$，所以a_n=$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$•$\frac{{a}_{n-1}}{{a}_{n-2}}$•…•$\frac{{a}_{3}}{{a}_{2}}$•a₂=2（n-1）．
顯然當(dāng)n=1、2時(shí)，滿足上式．所以a_n=2（n-1），n∈N^*．
∴a_n+1-a_n=2，所以數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，其通項(xiàng)公式是a_n=2（n-1），n∈N^*．
（Ⅱ）解：設(shè)等比數(shù)列{b_n}的公比為q，所以b_n=b₁q^n-1=2q^n-1，
∵a₄恰為S₄與b₂-1的等比中項(xiàng)，
∴a₄=6，S₄=12，b₂=2q，
所以6²=12×（2q-1），解得q=2，
所以b_n=2ⁿ，n∈N^*．
（Ⅲ）證明：n≥2時(shí)，T_n=c₁+c₂+…+c_n
=（1+$\frac{1}{2}$）+（$\frac{1}{{2}^{1}+1}$+$\frac{1}{{2}^{2}}$）+（$\frac{1}{{2}^{2}+1}$+$\frac{1}{{2}^{2}+2}$+$\frac{1}{{2}^{2}+3}$+$\frac{1}{{2}^{3}}$）+…+（$\frac{1}{{2}^{n-1}+1}$+$\frac{1}{{2}^{n-1}+2}$+…+$\frac{1}{{2}^{n}}$），
而n≥2時(shí)，c_n=$\frac{1}{{2}^{n-1}+1}$+$\frac{1}{{2}^{n-1}+2}$+…+$\frac{1}{{2}^{n}}$＞$\frac{1}{{2}^{n}}$+$\frac{1}{{2}^{n}}$+…+$\frac{1}{{2}^{n}}$=$\frac{{2}^{n}-（{2}^{n-1}-1）+1}{{2}^{n}}$=$\frac{{2}^{n-1}}{{2}^{n}}$=$\frac{1}{2}$，
所以當(dāng)n=2時(shí)T₂=1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{4}$=$\frac{25}{12}$=$\frac{6×2+13}{12}$．
當(dāng)n≥3時(shí)T_n=c₁+c₂+…+c_n
＞1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$+…+$\frac{1}{2}$=$\frac{6n+13}{12}$，
∴對(duì)任意n≥2，都有12T_n≥6n+13．

點(diǎn)評(píng) 本題考查求數(shù)列的通項(xiàng)，判斷數(shù)列為等差數(shù)列，以及前n項(xiàng)和的大小范圍，注意解題方法的積累，屬于中檔題．